Узлы Чебышёва

06.02.2021

В математике под узлами Чебышёва понимают корни многочлена Чебышёва первого рода. Они часто используются в качестве узлов при полиномиальной интерполяции, так как позволяют снизить влияние феномена Рунге.

Определение

Для натурального числа n узлы Чебышёва на отрезке [−1, 1] задаются формулой

x k = cos ⁡ ( 2 k − 1 2 n π ) , k = 1 , … , n . {displaystyle x_{k}=cos left({frac {2k-1}{2n}}pi ight),quad k=1,ldots ,n.}

Это корни многочлена Чебышёва первого рода степени n. Для получения узлов на произвольном отрезке [a, b] можно применить аффинное преобразование отрезков:

x k = 1 2 ( a + b ) + 1 2 ( b − a ) cos ⁡ ( 2 k − 1 2 n π ) , k = 1 , … , n . {displaystyle x_{k}={frac {1}{2}}(a+b)+{frac {1}{2}}(b-a)cos left({frac {2k-1}{2n}}pi ight),quad k=1,ldots ,n.}