Индексы цен и дохода

07.02.2021

Индексы цен и дохода представляют собой отношения средневзвешенных величин, предназначенные для измерения темпов роста общего уровня цен или темпов роста доходов соответственно.

Индекс дохода

Предположим, что на рынке продается (покупается) некоторый набор из n {displaystyle n} товаров. Пусть цена товаров равны P 1 0 , P 2 0 , . . . P n 0 {displaystyle P_{1}^{0},P_{2}^{0},...P_{n}^{0}} в базовом периоде и P 1 1 , P 2 1 , . . . P n 1 {displaystyle P_{1}^{1},P_{2}^{1},...P_{n}^{1}} в отчётном. Аналогично количества товаров равны Q 1 0 , Q 2 0 , . . . Q n 0 {displaystyle Q_{1}^{0},Q_{2}^{0},...Q_{n}^{0}} в базовом периоде и Q 1 1 , Q 2 1 , . . . Q n 1 {displaystyle Q_{1}^{1},Q_{2}^{1},...Q_{n}^{1}} в отчётном. Тогда индекс дохода (расходов на покупку) определяется следующим образом:

I = ∑ i = 1 n P i 1 Q i 1 ∑ i = 1 n P i 0 Q i 0 {displaystyle I={frac {sum _{i=1}^{n}P_{i}^{1}Q_{i}^{1}}{sum _{i=1}^{n}P_{i}^{0}Q_{i}^{0}}}}

Другими словами индекс доходов (расходов) — это отношение суммарных доходов или расходов по всем товарам в отчетном и базисном периодах.

Индекс цен

Если необходимо отделить влияние цен на изменение дохода от влияния количества, то используются два основных варианта индексов цен: индексы Ласпейреса и Пааше. Так как необходимо отделить ценовый эффект от количественного, то нужно зафикисировать количество либо на отчетном, либо на базисном уровне. В зависимости от правила фиксации получается либо индекс Пааше, либо индекс Ласпейреса соответственно.

Индекс Ласпейреса

Индекс Ласпейреса определяется путём взвешивания цен двух временных периодов по объёмам потребления базисного периода и отражает изменение стоимости потребительской корзины базисного периода, произошедшее за текущий период. Индекс рассчитывается как отношение потребительских расходов, обусловленных приобретением того же набора потребительских благ по текущим ценам ( ∑ i = 1 n Q i 0 P i 1 {displaystyle sum _{i=1}^{n}Q_{i}^{0}P_{i}^{1}} ), к расходам на приобретение потребительской корзины базисного периода ( ∑ i = 1 n Q i 0 P i 0 {displaystyle sum _{i=1}^{n}Q_{i}^{0}P_{i}^{0}} ):

I L = ∑ i = 1 n ( Q i 0 ⋅ P i 1 ) ∑ i = 1 n ( Q i 0 ⋅ P i 0 ) {displaystyle I_{L}={frac {sum _{i=1}^{n}(Q_{i}^{0}cdot P_{i}^{1})}{sum _{i=1}^{n}(Q_{i}^{0}cdot P_{i}^{0})}}} .

Индекс Ласпейреса используется для оценки потребительской инфляции (см. Индекс потребительских цен). Отражая динамику цен по потребительской корзине базисного периода Q 0 {displaystyle Q_{0}} , индекс Ласпейреса не учитывает изменений в структуре потребления, которые возникают из-за изменения цен благ. Отражая лишь эффект дохода и игнорируя эффект замещения, этот индекс даёт завышенную оценку инфляции при росте цен и заниженную в случае их снижения.

Индекс Пааше

Индекс Пааше — один из индексов цен, исчисляемых для характеристики изменения цен товаров. Определяется путём взвешивания цен двух временных периодов по объёмам потребления текущего периода и отражает изменение стоимости потребительской корзины текущего периода. Он рассчитывается как отношение текущих потребительских расходов к расходам на приобретение такого же ассортиментного набора в ценах базисного периода:

. I p = ∑ i = 1 n ( Q i 1 ⋅ P i 1 ) ∑ i = 1 n ( Q i 1 ⋅ P i 0 ) {displaystyle I_{p}={frac {sum _{i=1}^{n}(Q_{i}^{1}cdot P_{i}^{1})}{sum _{i=1}^{n}(Q_{i}^{1}cdot P_{i}^{0})}}}

Отражая динамику цен по потребительской корзине текущего периода ( Q 1 {displaystyle Q_{1}} ), индекс Пааше не в полной мере отражает эффект дохода. В результате получается завышенная оценка изменения цен при их снижении и заниженная в случае роста.

Индекс цен, связанный с корректировкой денежного объема ВВП называется дефлятором ВВП.

Проблема неразложимого остатка

Наличие двух индексов Ласпейреса и Пааше связано с проблемой неразложимого остатка. Изменение доходов (расходов) по отдельной товарной группе можно представить в виде разности:

P 1 Q 1 − P 0 Q 0 = ( P 0 + Δ P ) ( Q 0 + Δ Q ) − P 0 Q 0 = P 0 Δ Q + Q 0 Δ P + Δ P Δ Q {displaystyle P_{1}Q_{1}-P_{0}Q_{0}=(P_{0}+Delta P)(Q_{0}+Delta Q)-P_{0}Q_{0}=P_{0}Delta Q+Q_{0}Delta P+Delta PDelta Q}

Третье слагаемое называется неразложимым остатком. Его можно присоединить либо к первому слагаемому, либо ко второму. Тогда получится

P 1 Q 1 − P 0 Q 0 = P 1 ( Q 1 − Q 0 ) + Q 0 ( P 1 − P 0 ) = P 1 ( Q 1 − Q 0 ) + ( P 1 Q 0 − P 0 Q 0 ) {displaystyle P_{1}Q_{1}-P_{0}Q_{0}=P_{1}(Q_{1}-Q_{0})+Q_{0}(P_{1}-P_{0})=P_{1}(Q_{1}-Q_{0})+(P_{1}Q_{0}-P_{0}Q_{0})}

или

P 1 Q 1 − P 0 Q 0 = P 0 ( Q 1 − Q 0 ) + Q 1 ( P 1 − P 0 ) = P 1 ( Q 1 − Q 0 ) + ( P 1 Q 1 − P 0 Q 1 ) {displaystyle P_{1}Q_{1}-P_{0}Q_{0}=P_{0}(Q_{1}-Q_{0})+Q_{1}(P_{1}-P_{0})=P_{1}(Q_{1}-Q_{0})+(P_{1}Q_{1}-P_{0}Q_{1})}

В первом случае второе слагаемое показывает эффект изменения цен при базовом количестве товаров, а во втором случае — при отчетном. Если уменьшаемое в скобках поставить в числитель индекса, а вычитаемое в знаменатель, то получатся соответственно индексы Ласпейреса и Пааше. Индексы по-разному отражают эффекты дохода и замещения. Не существует единственного правила, по которому осуществляется выбор между индексами. Все зависит от цели исследования. Часто в качестве компромиссного варианта используют индекс Фишера.

Индекс Фишера

С целью устранения недостатков, присущих индексам Пааше и Ласпейреса, рассчитывается их средняя геометрическая величина — индекс Фишера ( I F ) {displaystyle (I_{F})} :

I F = I L ⋅ I P {displaystyle I_{F}={sqrt {I_{L}cdot I_{P}}}}

Индекс Фишера "распределяет" неразложимый остаток между эффектами цен и количества. Для небольших изменений можно воспользоваться динейным приближением (см. Ряд Тейлора для функции двух переменных).

I F − 1 = I L ⋅ I P − 1 ≈ 1 + 0.5 l + 0.5 p − 1 = l + p 2 {displaystyle I_{F}-1={sqrt {I_{L}cdot I_{P}}}-1approx 1+0.5l+0.5p-1={frac {l+p}{2}}} ,

где I L = 1 + l {displaystyle I_{L}=1+l} , I P = 1 + p {displaystyle I_{P}=1+p} и I F = 1 + f {displaystyle I_{F}=1+f} .

Индекс Фишера используется для расчетов темпов роста реального ВВП.