Уравнение Рамануджана — Нагеля

07.03.2021

Уравнение Рамануджана – Нагеля в теории чисел, — это уравнение следующего вида:

2 n − 7 = x 2 , {displaystyle 2^{n}-7=x^{2},}

Для него требуется найти натуральные решения неизвестных n {displaystyle n} и x {displaystyle x} .

Это пример экспоненциального диофантова уравнения. Уравнение названо в честь индийского математика Сринивасы Рамануджана и норвежского математика Трюгве Нагеля.

История

Данное уравнение возникает при решении следующей задачи: найти все числа Мерсенна ( {displaystyle (} то есть числа вида 2 b − 1 ) {displaystyle 2^{b}-1)} , которые одновременно являются треугольными числами (то есть имеют вид y ( y + 1 ) 2 {displaystyle {frac {y(y+1)}{2}}} ). Несложные преобразования приводят к следующему результату:

  2 b − 1 = y ( y + 1 ) 2 ⟺   8 ( 2 b − 1 ) = 4 y ( y + 1 ) ⟺   2 b + 3 − 8 = 4 y 2 + 4 y ⟺   2 b + 3 − 7 = 4 y 2 + 4 y + 1 ⟺   2 b + 3 − 7 = ( 2 y + 1 ) 2 {displaystyle {egin{aligned}& 2^{b}-1={frac {y(y+1)}{2}}[2pt]Longleftrightarrow & 8(2^{b}-1)=4y(y+1)Longleftrightarrow & 2^{b+3}-8=4y^{2}+4yLongleftrightarrow & 2^{b+3}-7=4y^{2}+4y+1Longleftrightarrow & 2^{b+3}-7=(2y+1)^{2}end{aligned}}}

Выполнив замену n = b + 3 ;   x = 2 y + 1 , {displaystyle n=b+3; x=2y+1,} получаем уравнение Рамануджана – Нагеля.

Рамануджан в 1913 году высказал гипотезу, что данное уравнение имеет только пять целочисленных решений:

По своему обыкновению, Рамануджан не привёл доказательства и не пояснил, как он пришёл к такой гипотезе. Независимо от Рамануджана, в 1943 году аналогичную гипотезу выдвинул норвежский математик Вильгельм Юнгрен. В 1948 году другой норвежский математик, Трюгве Нагель, опубликовал доказательство.

Соответствующие решениям «треугольные числа Мерсенна» часто называют числами Рамануджана – Нагеля:

y ( y + 1 ) 2 = ( x − 1 ) ( x + 1 ) 8 {displaystyle {frac {y(y+1)}{2}}={frac {(x-1)(x+1)}{8}}}

Их также пять: 0, 1, 3, 15, 4095 (последовательность A076046 в OEIS).

Вариации и обобщения

Немецкий математик Карл Людвиг Зигель рассмотрел несколько более общее уравнение вида:

x 2 + D = A B n , {displaystyle x^{2}+D=AB^{n},}

где D , A , B {displaystyle D,A,B} — целые константы, и надо найти натуральные значения переменных x , n {displaystyle x,n} . Зигель доказал:

  • количество решений этого диофантова уравнения в любом случае конечно;
  • при A = 1 , B = 2 {displaystyle A=1,B=2} уравнение имеет не более двух решений, за исключением изложенного выше случая D = 7 {displaystyle D=7} ;
  • существует бесконечно много значений D , {displaystyle D,} для которых существуют два решения, например, D = 2 m − 1 {displaystyle D=2^{m}-1} .

Пример: D = 119 , A = 15 , B = 2. {displaystyle D=119,A=15,B=2.} Уравнение x 2 + 119 = 15 ⋅ 2 n , {displaystyle x^{2}+119=15cdot 2^{n},} имеет шесть решений:

Ещё одно обобщение — уравнение Лебега — Нагеля:

x 2 + D = A y n {displaystyle x^{2}+D=Ay^{n}}

где D , A {displaystyle D,A} — целые константы, и надо найти натуральные значения переменных x , y , n . {displaystyle x,y,n.} Уравнение названо в честь французского математика Виктора-Амеде Лебега, который в 1850 году исследовал уравнение x 2 + 1 = y n {displaystyle x^{2}+1=y^{n}} и доказал, что оно имеет только тривиальные решения:

0 2 + 1 = y 0 ; 0 2 + 1 = 1 n ; x 2 + 1 = ( x 2 + 1 ) 1 {displaystyle 0^{2}+1=y^{0};quad 0^{2}+1=1^{n};quad x^{2}+1=(x^{2}+1)^{1}}

Из результатов Шори и Тейдемана следует, что число решений уравнение Лебега — Нагеля всегда конечно. Бюжо, Миньотт и Сиксек решили уравнения этого типа с A = 1 {displaystyle A=1} и 1 ⩽ D ⩽ 100 {displaystyle 1leqslant Dleqslant 100} . В частности, обобщение исходного уравнения Рамануджана-Нагеля:

y n − 7 = x 2 {displaystyle y^{n}-7=x^{2},}

имеет положительные целочисленные решения, когда x = 1, 3, 5, 11 и 181.