Гравитационное поле Земли

08.03.2021

Гравитационное поле Земли — поле силы тяжести, обусловленное тяготением Земли и центробежной силой, вызванной её суточным вращением. Характеризуется пространственным распределением силы тяжести и гравитационного потенциала.

Для решения практических задач потенциал земного притяжения (без учёта центробежной силы и влияния других небесных тел) выражается в виде ряда

V ( r , ϕ , λ ) = G M r [ 1 + ∑ n = 1 ∞ ( a r ) n ∑ m = 0 n P n m sin ⁡ ϕ ( C n m cos ⁡ m λ + S n m sin ⁡ m λ ) ] , {displaystyle V(r,phi ,lambda )={frac {GM}{r}}left[1+sum _{n=1}^{infty }left({frac {a}{r}} ight)^{n}sum _{m=0}^{n}P_{nm}sin phi left(C_{nm}cos mlambda +S_{nm}sin mlambda ight) ight],} где r , ϕ , λ {displaystyle r,phi ,lambda } — полярные координаты, G {displaystyle G} — гравитационная постоянная, M {displaystyle M} — масса Земли, G M {displaystyle GM} = 398 603⋅109 м3·с−2, a {displaystyle a} — большая полуось Земли.

Ускорение свободного падения

В неинерциальных системах отсчёта ускорение свободного падения численно равно силе тяжести, воздействующей на объект единичной массы.

Ускорение свободного падения на поверхности Земли g (обычно произносится как «Же») варьируется от 9,780 м/с² на экваторе до 9,832 м/с² на полюсах. Стандартное («нормальное») значение, принятое при построении систем единиц, составляет g = 9,80665 м/с². Стандартное значение g было определено как «среднее» в каком-то смысле на всей Земле, оно примерно равно ускорению свободного падения на широте 45,5° на уровне моря. В приблизительных расчётах его обычно принимают равным 9,81; 9,8 или 10 м/с².

В СМИ и научно-популярной литературе g нередко используется как внесистемная единица силы тяжести, применяемая, например, для оценки величины перегрузок при тренировках лётчиков и космонавтов, а также силы тяготения на других небесных телах (см. раздел Сравнение силы тяготения на Земле с другими небесными телами).

Получение значения g из закона всемирного тяготения

Согласно закону всемирного тяготения, сила земной гравитации, действующая на тело, определяется формулой

F = G m 1 m 2 r 2 = ( G m 1 r 2 ) m 2 {displaystyle F=G{frac {m_{1}m_{2}}{r^{2}}}=left(G{frac {m_{1}}{r^{2}}} ight)m_{2}} ,

где r — расстояние между центром Земли и телом (см. ниже), m1 — масса Земли и m2 — масса тела.

Кроме того, согласно второму закону Ньютона, F = ma, где m — масса и a — ускорение,

F = m 2 g {displaystyle F=m_{2}g}

Из сопоставления двух формул видно, что

g = G m 1 r 2 {displaystyle g=G{frac {m_{1}}{r^{2}}}}

Таким образом, чтобы найти получить значение ускорения силы тяжести g на уровне моря, необходимо в формулу подставить значения гравитационной постоянной G, массы Земли (в килограммах) m1 и радиуса Земли (в метрах) r :

g = G m 1 r 2 = ( 6.67384 × 10 − 11 ) 5.9722 × 10 24 ( 6.371 × 10 6 ) 2 = 9.8196 m ⋅ s − 2 {displaystyle g=G{frac {m_{1}}{r^{2}}}=(6.67384 imes 10^{-11}){frac {5.9722 imes 10^{24}}{(6.371 imes 10^{6})^{2}}}=9.8196{mbox{m}}cdot {mbox{s}}^{-2}}

Следует отметить, что эта формула правомерна для сферического тела при допущении, что вся его масса сосредоточена в его центре. Это позволяет нам использовать величину радиуса Земли для r.

Существуют значительные неопределенности значений r и m1, а также значения гравитационной постоянной G, которую трудно точно измерить.

Если G,g и r известны, то решение обратной задачи позволит получить величину массы Земли.

Гравитационные аномалии

Гравитационные аномалии применительно к геофизике — отклонения величины гравитационного поля от расчётной, вычисленной на основе той или иной математической модели. Гравитационный потенциал земной поверхности, или геоида, обычно описывается на основании математических теорий с использованием гармонических функций. Эти отклонения могут быть вызваны различными факторами, в том числе:

  • Земля не является однородной, её плотность различна на разных участках;
  • Земля не является идеальной сферой, и в формуле используется среднее значение величины её радиуса;
  • Расчётное значение g учитывает только силу тяжести и не учитывает центробежную силу, возникающую за счёт вращения Земли;
  • При подъёме тела над поверхностью Земли значение g уменьшается («высотная поправка» (см. ниже), аномалия Бугера);
  • На Землю воздействуют гравитационные поля других космических тел, в частности, приливные силы Солнца и Луны.

Высотная поправка

Первая поправка для стандартных математических моделей, так называемая высотная аномалия, позволяет учесть изменение величины g в зависимости от высоты над уровнем моря. Используем значения массы и радиуса Земли:

r E a r t h = 6.371 × 10 6 m {displaystyle r_{mathrm {Earth} }=6.371 imes 10^{6},mathrm {m} } m E a r t h = 5.9722 × 10 24 k g {displaystyle m_{mathrm {Earth} }=5.9722 imes 10^{24},mathrm {kg} }

Поправочный коэффициент (Δg) может быть получены из соотношения между ускорением силы тяжести g и гравитационной постоянной G:

g 0 = G m E a r t h / r E a r t h 2 = 9.8196 m s 2 {displaystyle g_{0}=G,m_{mathrm {Earth} }/r_{mathrm {Earth} }^{2}=9.8196,{frac {mathrm {m} }{mathrm {s} ^{2}}}} , где: G = 6.67384 × 10 − 11 m 3 k g ⋅ s 2 . {displaystyle G=6.67384 imes 10^{-11},{frac {mathrm {m} ^{3}}{mathrm {kg} cdot mathrm {s} ^{2}}}.} .

На высоте h над поверхностью Земли gh рассчитывается по формуле:

g h = G m E a r t h / ( r E a r t h + h ) 2 {displaystyle g_{h}=G,m_{mathrm {Earth} }/left(r_{mathrm {Earth} }+h ight)^{2}}

Так, высотная поправка для высоты h может быть выражена:

Δ g h = [ G m E a r t h / ( r E a r t h + h ) 2 ] − [ G m E a r t h / r E a r t h 2 ] {displaystyle Delta g_{h}=left[G,m_{mathrm {Earth} }/left(r_{mathrm {Earth} }+h ight)^{2} ight]-left[G,m_{mathrm {Earth} }/r_{mathrm {Earth} }^{2} ight]} .

Это выражение может быть легко использовано для программирования или включения в таблицу. Упрощая и пренебрегая малыми величинами (h<<rEarth), получаем хорошее приближение:

Δ g h ≈ − G m E a r t h r E a r t h 2 × 2 h r E a r t h {displaystyle Delta g_{h}approx -,{dfrac {G,m_{mathrm {Earth} }}{r_{mathrm {Earth} }^{2}}} imes {dfrac {2,h}{r_{mathrm {Earth} }}}} .

Используя приведённые выше численные значения выше, и высоту h в метрах, получим:

Δ g h ≈ − 3.083 × 10 − 6 h {displaystyle Delta g_{h}approx -3.083 imes 10^{-6},h}

Учитывая широту местности и высотную поправку, получаем:

g ϕ , h = 9.780327 ( 1 + 0.0053024 sin 2 ⁡ ϕ − 0.0000058 sin 2 ⁡ 2 ϕ ) − 3.086 × 10 − 6 h {displaystyle g_{phi ,h}=9.780327left(1+0.0053024sin ^{2}phi -0.0000058sin ^{2}2phi ight)-3.086 imes 10^{-6}h} ,

где   g ϕ , h {displaystyle g_{phi ,h}} — ускорение свободного падения на широте   ϕ {displaystyle phi } и высоте h. Это выражение можно также представить в следующем виде:

g ϕ , h = 9.780327 [ ( 1 + 0.0053024 sin 2 ⁡ ϕ − 0.0000058 sin 2 ⁡ 2 ϕ ) − 3.155 × 10 − 7 h ] m s 2 {displaystyle g_{phi ,h}=9.780327left[left(1+0.0053024sin ^{2}phi -0.0000058sin ^{2}2phi ight)-3.155 imes 10^{-7}h ight],{frac {mathrm {m} }{mathrm {s} ^{2}}}} .

Сравнение силы тяготения на Земле с другими небесными телами

В таблице приведены значения величин ускорения свободного падения на поверхности Земли, Солнца, Луны, планет Солнечной системы, ряда спутников и астероидов. Для планет — гигантов под «поверхностью» понимается видимая поверхность, а для Солнца — верхняя граница фотосферы. Данные в таблице не учитывают эффекта центробежной силы от вращения планет и фактически означают значения искомых величин вблизи полюсов планет. Справочно указано время падения объекта на данное небесное тело со 100-метровой высоты и максимальная скорость, достигаемая при этом (сопротивление воздуха не учтено).