Сверхзолотое сечение

09.03.2021

Сверхзолотое сечение — это иррациональное число, которое является действительным решением уравнения x 3 = x 2 + 1 {displaystyle x^{3}=x^{2}+1} . Это число обозначается греческой буквой ψ {displaystyle psi } и равно 1,46557123187676802665… (последовательность A092526 в OEIS). Это число равно

ψ = 2 + 116 + 12 93 3 + 116 − 12 93 3 6 {displaystyle psi ={frac {2+{sqrt[{3}]{116+12{sqrt {93}}}}+{sqrt[{3}]{116-12{sqrt {93}}}}}{6}}} .

Последовательность коров Нараяны

Сверхзолотое сечение возникает в следующей задаче, которая является аналогом задачи о кроликах Фибоначчи: «Вначале есть одна молодая пара рогатого скота. Через три месяца после рождения они могут размножаться и с этого момента размножаются каждый месяц, рождая разнополую пару. Сколько пар будет через n {displaystyle n} месяцев?» Решением этой задачи является так называемая последовательность коров Нараяны, названная в честь индийского математика XIV века. Эта последовательность начинается следующим образом:

1, 1, 1, 2, 3, 4, 6, 9, 13, 19, 28, 41, 60, ... (последовательность A000930 в OEIS).

Члены этой последовательности вычисляются по рекуррентной формуле:

N n = N n − 1 + N n − 3 {displaystyle N_{n}=N_{n-1}+N_{n-3}} , где N − 1 = 0 {displaystyle N_{-1}=0} , N 0 = 0 {displaystyle N_{0}=0} и N 1 = 1 {displaystyle N_{1}=1} .

Сверхзолотое сечение является пределом отношения соседних членов этой последовательности.