Теорема Паскаля

09.03.2021

Теорема Паскаля — классическая теорема проективной геометрии.

Формулировка

Если шестиугольник вписан в окружность (или в любое другое коническое сечение — эллипс, параболу, гиперболу или даже в пару прямых), то точки пересечения трёх пар противоположных сторон лежат на одной прямой.

История

Впервые сформулирована и доказана Блезом Паскалем в возрасте 16 лет как обобщение теоремы Паппа. Эту теорему Паскаль взял за основание своего трактата о конических сечениях. Сам трактат пропал и известно лишь его краткое содержание по письму Лейбница, который во время своего пребывания в Париже имел его в своих руках, и краткое изложение основных теорем этого трактата, составленное самим Паскалем (Опыт о конических сечениях). Сам Паскаль считал пару прямых в теореме Паппа коническим сечением, а теорему Паппа частным случаем своей теоремы.

О доказательствах

  • Одно из доказательств использует счёт в двойных отношениях.
  • Возможное доказательство основано на последовательном применении теоремы Менелая.
  • Проективным преобразованием можно перевести описанную конику в окружность, при этом условие теоремы сохранится. Для окружности теорема может быть доказана из существования изогонального сопряжения.
    • В случае выпуклого многоугольника, вписанного в окружность, можно осуществить проективное преобразование, оставляющее окружность на месте, а прямую, проходящую через точки пересечения двух пар противоположных сторон увести на бесконечность. В этом случае утверждение теоремы станет очевидным.
  • Возможное доказательство может быть также основано на теореме о 9 точках на кубике.

Применение

Позволяет строить коническое сечение по пяти точкам, как геометрическое место точек соответственных шестой точке шестиугольника в конфигурации.

Вариации и обобщения

  • Теорема Паскаля двойственна к теореме Брианшона.
  • Если главные диагонали шестиугольника пересекаются в одной точке, то соответствующая прямая, возникающая в теореме Паскаля, является полярой этой точки относительно коники, в которую вписан шестиугольник.
    • В общем случае, прямая из теоремы Паскаля для шестиугольника, вписанного в конику K {displaystyle {mathcal {K}}} , является полярой относительно K {displaystyle {mathcal {K}}} точки из теоремы Брианшона для шестиугольника, образованного касательными к K {displaystyle {mathcal {K}}} в вершинах исходного шестиугольника.
  • Теорема верна и в том случае, когда две или даже три соседних вершины совпадают (но не более чем по две в одной точке). В этом случае в качестве прямой, проходящей через две совпадающие вершины, принимается касательная к линии в этой точке. В частности:
    • Касательная к линии 2-го порядка, проведенная в одной из вершин вписанного пятиугольника, пересекается со стороной, противоположной этой вершине, в точке, которая лежит на прямой, проходящей через точки пересечения остальных пар несмежных сторон этого пятиугольника.
    • Если ABCD ― четырехугольник, вписанный в линию 2-го порядка, то точки пересечения касательных в вершинах С и D соответственно со сторонами AD и ВС и точка пересечения прямых АВ и CD лежат на одной прямой.
    • Если ABCD ― четырехугольник, вписанный в линию 2-го порядка, то точки пересечения касательных в вершинах С и D, прямых AC и BD, а также прямых AD и BC лежат на одной прямой.
    • Точки пересечения касательных в вершинах треугольника, вписанного в линию 2-го порядка, с противоположными сторонами лежат на одной прямой.
      • Эта прямая называется прямой Паскаля данного треугольника.
  • В 1847 появилось обобщение теоремы Паскаля, сделанное Мёбиусом, которое звучит так:
    • Если многоугольник с 4 n + 2 {displaystyle 4n+2} сторонами вписан в коническое сечение и противоположные его стороны продолжены таким образом, чтобы пересечься в 2 n + 1 {displaystyle 2n+1} точке, то если 2 n {displaystyle 2n} этих точек лежат на прямой, последняя точка будет лежать на той же прямой.
  • Теорема Киркмана: Пусть точки A {displaystyle A} , B {displaystyle B} , C {displaystyle C} , D {displaystyle D} , E {displaystyle E} и F {displaystyle F} лежат на одном коническом сечении. Тогда прямые Паскаля шестиугольников A B F D C E {displaystyle ABFDCE} , A E F B D C {displaystyle AEFBDC} и A B D F E C {displaystyle ABDFEC} пересекаются в одной точке.
  • Теорема о 9 точках на кубике

Дополнительные иллюстрации

Шесть прямых Паскаля GHK самопересекающегося (невыпуклого) шестиугольника ABCDEF, вписанного в эллипс. Его три пары противоположных сторон выделены разными цветами (одна пара красная, другая желтая, а третья синяя). Точки пересечения лежат на одной прямой (эта прямая - прямая Паскаля - показана белым цветом) Теорема верна даже для такого шестиугольника. Здесь имеется наружное пересечение трех пар противоположных сторон выпуклого шестиугольника ABCDEF, вписанного в окружность (она справа). Его три пары противоположных сторон пересекаются в трех точках M, N и P, лежащих на одной прямой (показаны слева). Три пары его противоположных продолженных сторон пересекаются на линии Паскаля (синяя)