Плоскость Немыцкого

09.03.2021

Плоскость Немыцкого — общетопологический пример совершенного пространства, не являющегося нормальным. Обозначается, как правило, L {displaystyle L} .

Определена Александровым и Хопфом в 1935 году и используется в курсах по общей топологии как «универсальный контрпример»: дидактическая ценность её в том, что благодаря простоте построения плоскость Немыцкого может быть наглядно представлена студентам на первых же лекциях по общей топологии, и в дальнейшем использоваться как сквозной пример для всего курса.

Построение

Строится как подпространство плоскости с точками ( x ; y ) {displaystyle (x;y)} , где y ⩾ 0 {displaystyle ygeqslant 0} с изменением топологии в точках ( x ; 0 ) {displaystyle (x;0)} : база окрестностей таких точек — открытые круги B ( ( x , ϵ ) , ϵ ) {displaystyle B((x,epsilon ),epsilon )} и сама точка ( x ; 0 ) {displaystyle (x;0)} , где B ( p , r ) {displaystyle B(p,r)} — круг радиуса r {displaystyle r} с центром в точке p {displaystyle p} .

Отсутствие нормальности вытекает из такого же наглядного замечания, как и в случае с квадратом стрелки: L {displaystyle L} — сепарабельное пространство с несчётным замкнутым дискретом (ось абсцисс имеет даже мощность континуума).

Свойства

Плоскость Немыцкого является связным, сепарабельным ( d ( L ) = ω {displaystyle d(L)=omega } ) и нелинделёфовым ( l ( L ) = 2 ω {displaystyle l(L)=2^{omega }} ), вещественно полным пространством. Его клеточность и характер счётны ( c ( L ) = ω {displaystyle c(L)=omega } , χ ( L ) = ω {displaystyle chi (L)=omega } ), а вес — несчётен ( w ( L ) = 2 ω {displaystyle w(L)=2^{omega }} ). При этом не является счётно паракомпактным, слабо паракомпактным, локально компактным пространством.