Теорема Голдстоуна

09.03.2021

Теорема Голдстоуна — утверждение о рождении и поглощении квантов возбуждения — частиц с нулевыми массами и спинами в квантовомеханических системах при спонтанном нарушении симметрии в процессах перехода между энергетическими состояниями, образующими непрерывный вырожденный набор. Эти частицы называются бозонами Голдстоуна. Впервые была доказана Йоитиро Намбу в 1964 г.

Пример

Рассмотрим пример с простейшей возможной симметрией относительно группы преобразований U ( 1 ) {displaystyle U(1)} : φ → e i α φ {displaystyle varphi ightarrow e^{ialpha }varphi } . Для этого выберем комплексное скалярное поле φ ( x ) = 1 2 ρ ( x ) e i θ ( x ) {displaystyle varphi (x)={frac {1}{sqrt {2}}} ho (x)e^{i heta (x)}} с лагранжианом L = ( ∂ μ φ ) ( ∂ μ φ ∗ ) − V ( ρ ) {displaystyle L=(partial _{mu }varphi )(partial ^{mu }varphi ^{*})-V( ho )} . Проиллюстрируем спонтанное нарушение симметрии на примере потенциала вида V ( ρ ) = 1 2 μ 2 ρ 2 + 1 4 λ ρ 4 {displaystyle V( ho )={frac {1}{2}}mu ^{2} ho ^{2}+{frac {1}{4}}lambda ho ^{4}} , где μ 2 < 0 {displaystyle mu ^{2}<0} . Потенциал V ( ρ ) {displaystyle V( ho )} имеет минимум при φ = 1 2 η e i α {displaystyle varphi ={frac {1}{sqrt {2}}}eta e^{ialpha }} , где η = | μ 2 | λ {displaystyle eta ={sqrt {frac {|mu ^{2}|}{lambda }}}} . Лагранжиан можно записать как: L = 1 2 ( ∂ μ ρ ) 2 − V ( ρ ) + ρ 2 2 ( ∂ μ θ ) 2 {displaystyle L={frac {1}{2}}(partial _{mu } ho )^{2}-V( ho )+{frac { ho ^{2}}{2}}(partial _{mu } heta )^{2}} . Если рассматривать в лагранжиане лишь квадратичные члены по модулю и фазе поля, то получим L = 1 2 ( ∂ μ ρ 1 ) 2 − m 2 2 ρ 1 2 + η 2 2 ( ∂ μ θ ) 2 + C {displaystyle L={frac {1}{2}}(partial _{mu } ho _{1})^{2}-{frac {m^{2}}{2}} ho _{1}^{2}+{frac {eta ^{2}}{2}}(partial _{mu } heta )^{2}+C} где ρ 1 = ρ − η {displaystyle ho _{1}= ho -eta } , m 2 = 2 | μ | 2 {displaystyle m^{2}=2|mu |^{2}} , C {displaystyle C} — константа, не зависящая от поля. Из этого лагранжиана вытекают уравнения движения: ( ∂ μ 2 + m 2 ) ρ 1 = 0 {displaystyle (partial _{mu }^{2}+m^{2}) ho _{1}=0} и ∂ μ 2 θ = 0 {displaystyle partial _{mu }^{2} heta =0} . Таким образом, имеем два вещественных поля. Квантами поля ρ 1 {displaystyle ho _{1}} являются частицы с массой m {displaystyle m} , а квантами поля θ {displaystyle heta } являются частицы с нулевой массой.