Интеграл Дирихле

27.03.2021

В математике существует несколько интегралов, известных как интеграл Дирихле, названные в честь немецкого математика Петера Густава Лежена Дирихле, один из которых является несобственным интегралом функции sinc по положительной действительной прямой:

∫ 0 ∞ sin ⁡ x x d x = π 2 . {displaystyle int _{0}^{infty }{frac {sin x}{x}},dx={frac {pi }{2}}.}

Этот интеграл не является абсолютно сходящимся, что означает | sin ⁡ x x | {displaystyle {Biggl |}{frac {sin x}{x}}{Biggl |}} не интегрируется по Лебегу, и, соответственно, интеграл Дирихле не определен в соответствии с интегрированием Лебега. Однако он определяется в соответствии с несобственным интегралом Римана или обобщенного интеграла Римана или Хенстока — Курцвейла. Значение интеграла (в соответствии с интегралом Римана или Хенстока) может быть получено различными способами, включая через преобразование Лапласа, двойное интегрирование, дифференцирование под знаком интеграла, контурное интегрирование и ядро Дирихле.

Определение

Преобразование Лапласа

Пусть f ( t ) {displaystyle f(t)} функция, определенная всякий раз, когда t ≥ 0 {displaystyle tgeq 0} . Тогда преобразование Лапласа функции имеет вид

L { f ( t ) } = F ( s ) = ∫ 0 ∞ e − s t f ( t ) d t , {displaystyle {mathcal {L}}{f(t)}=F(s)=int _{0}^{infty }e^{-st}f(t),dt,}

если интеграл существует.

Свойство преобразования Лапласа, полезное для вычисления несобственных интегралов:

L [ f ( t ) t ] = ∫ s ∞ F ( u ) d u , {displaystyle {mathcal {L}}{Biggl [}{frac {f(t)}{t}}{Biggl ]}=int _{s}^{infty }F(u),du,}

при условии, что lim t → 0 f ( t ) t {displaystyle lim _{t ightarrow 0}{frac {f(t)}{t}}} существует.

Это свойство можно использовать для вычисления интеграла Дирихле следующим образом:

∫ 0 ∞ sin ⁡ t t d t = lim s → 0 ∫ 0 ∞ e − s t sin ⁡ t t d t = lim s → 0 L [ sin ⁡ t t ] = lim s → 0 ∫ s ∞ d u u 2 + 1 = lim s → 0 arctan ⁡ u | s ∞ = lim s → 0 [ π 2 − arctan ⁡ ( s ) ] = π 2 , {displaystyle {egin{aligned}int _{0}^{infty }{frac {sin t}{t}},dt&=lim _{s ightarrow 0}int _{0}^{infty }e^{-st}{frac {sin t}{t}},dt=lim _{s ightarrow 0}{mathcal {L}}{Biggl [}{frac {sin t}{t}}{Biggl ]}[6pt]&=lim _{s ightarrow 0}int _{s}^{infty }{frac {du}{u^{2}+1}}=lim _{s ightarrow 0}arctan u{Biggl |}_{s}^{infty }[6pt]&=lim _{s ightarrow 0}{Biggl [}{frac {pi }{2}}-arctan(s){Biggl ]}={frac {pi }{2}},end{aligned}}}

так как L { sin ⁡ t } = 1 s 2 + 1 {displaystyle {mathcal {L}}{sin t}={frac {1}{s^{2}+1}}} преобразование Лапласа функции sin ⁡ t {displaystyle sin t} . (См. дифференцирование в разделе «Дифференцирование под знаком интеграла».)

Двойная интеграция

Вычисление интеграла Дирихле с помощью преобразования Лапласа эквивалентно попытке вычислить один и тот же дважды определенный интеграл двумя разными способами, изменив порядок интегрирования на противоположный, а именно:

( I 1 = ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ e − s t sin ⁡ t d t d s ) = ( I 2 = ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ e − s t sin ⁡ t d s d t ) , {displaystyle left(I_{1}=int _{0}^{infty }int _{0}^{infty }e^{-st}sin t,dt,ds ight)=left(I_{2}=int _{0}^{infty }int _{0}^{infty }e^{-st}sin t,ds,dt ight),} ( I 1 = ∫ 0 ∞ 1 s 2 + 1 d s = π 2 ) = ( I 2 = ∫ 0 ∞ sin ⁡ t t d t ) , {displaystyle left(I_{1}=int _{0}^{infty }{frac {1}{s^{2}+1}},ds={frac {pi }{2}} ight)=left(I_{2}=int _{0}^{infty }{frac {sin t}{t}},dt ight),} при условии s > 0. {displaystyle s>0.}

Дифференцирование под знаком интеграла (трюк Фейнмана)

Сначала перепишем интеграл как функцию дополнительной переменной a {displaystyle a} . Пусть

f ( a ) = ∫ 0 ∞ e − a ω sin ⁡ ω ω d ω . {displaystyle f(a)=int _{0}^{infty }e^{-aomega }{frac {sin omega }{omega }},domega .}

Чтобы вычислить интеграл Дирихле, нам необходимо определить f ( 0 ) {displaystyle f(0)} .

Продифференцируем по a {displaystyle a} и применим Формула_Лейбница для дифференцирования под знаком интеграла чтобы получить

d f d a = d d a ∫ 0 ∞ e − a ω sin ⁡ ω ω d ω = ∫ 0 ∞ ∂ ∂ a e − a ω sin ⁡ ω ω d ω = − ∫ 0 ∞ e − a ω sin ⁡ ω d ω . {displaystyle {egin{aligned}{frac {df}{da}}&={frac {d}{da}}int _{0}^{infty }e^{-aomega }{frac {sin omega }{omega }},domega =int _{0}^{infty }{frac {partial }{partial a}}e^{-aomega }{frac {sin omega }{omega }},domega [6pt]&=-int _{0}^{infty }e^{-aomega }sin omega ,domega .end{aligned}}}

Теперь, используя формулу Эйлера e i ω = cos ⁡ ω + i sin ⁡ ω , {displaystyle e^{iomega }=cos omega +isin omega ,} можно выразить синусоиду через комплексные экспоненциальные функции. Таким образом, мы имеем

sin ⁡ ( ω ) = 1 2 i ( e i ω − e − i ω ) . {displaystyle sin(omega )={frac {1}{2i}}left(e^{iomega }-e^{-iomega } ight).}

Следовательно,

d f d a = − ∫ 0 ∞ e − a ω sin ⁡ ω d ω = − ∫ 0 ∞ e − a ω e i ω − e − i ω 2 i d ω = − 1 2 i ∫ 0 ∞ [ e − ω ( a − i ) − e − ω ( a + i ) ] d ω = − 1 2 i [ − 1 a − i e − ω ( a − i ) − − 1 a + i e − ω ( a + i ) ] | 0 ∞ = − 1 2 i [ 0 − ( − 1 a − i + 1 a + i ) ] = − 1 2 i ( 1 a − i − 1 a + i ) = − 1 2 i ( a + i − ( a − i ) a 2 + 1 ) = − 1 a 2 + 1 . {displaystyle {egin{aligned}{frac {df}{da}}&=-int _{0}^{infty }e^{-aomega }sin omega ,domega =-int _{0}^{infty }e^{-aomega }{frac {e^{iomega }-e^{-iomega }}{2i}}domega [6pt]&=-{frac {1}{2i}}int _{0}^{infty }left[e^{-omega (a-i)}-e^{-omega (a+i)} ight]domega [6pt]&=-{frac {1}{2i}}left[{frac {-1}{a-i}}e^{-omega (a-i)}-{frac {-1}{a+i}}e^{-omega (a+i)} ight]{Biggl |}_{0}^{infty }[6pt]&=-{frac {1}{2i}}left[0-left({frac {-1}{a-i}}+{frac {1}{a+i}} ight) ight]=-{frac {1}{2i}}left({frac {1}{a-i}}-{frac {1}{a+i}} ight)[6pt]&=-{frac {1}{2i}}left({frac {a+i-(a-i)}{a^{2}+1}} ight)=-{frac {1}{a^{2}+1}}.end{aligned}}}

Интегрируя по a {displaystyle a} дает

f ( a ) = ∫ − d a a 2 + 1 = A − arctan ⁡ a , {displaystyle f(a)=int {frac {-da}{a^{2}+1}}=A-arctan a,}

Где A {displaystyle A} постоянная интегрирования, которую необходимо определить. Поскольку lim a → ∞ f ( a ) = 0 , {displaystyle lim _{a o infty }f(a)=0,} A = lim a → ∞ arctan ⁡ ( a ) = π 2 , {displaystyle A=lim _{a o infty }arctan(a)={frac {pi }{2}},} используя главное значение. Это означает

f ( a ) = π 2 − arctan ⁡ a . {displaystyle f(a)={frac {pi }{2}}-arctan {a}.}

Наконец, для a = 0 {displaystyle a=0} у нас есть f ( 0 ) = π 2 − arctan ⁡ ( 0 ) = π 2 {displaystyle f(0)={frac {pi }{2}}-arctan(0)={frac {pi }{2}}} , как прежде.

Комплексное интегрирование

Тот же результат может быть получен путем комплексного интегрирования. Рассмотрим

f ( z ) = e i z z . {displaystyle f(z)={frac {e^{iz}}{z}}.}

Как функция комплексной переменной z {displaystyle z} оно имеет простой полюс в начале координат, что препятствует применению леммы Жордана, остальные условия которой выполнены.

Определим новую функцию

g ( z ) = e i z z + i ε . {displaystyle g(z)={frac {e^{iz}}{z+ivarepsilon }}.}

Полюс был перемещен от реальной оси, поэтому g ( z ) {displaystyle g(z)} интегрируется по полукругу радиуса R {displaystyle R} в центре z = 0 {displaystyle z=0} и замкнута по реальной оси. Затем берем предел ε → 0 {displaystyle varepsilon ightarrow 0} .

Комплексный интеграл равен нулю по теореме о вычетах, так как внутри пути интегрирования нет полюсов.

0 = ∫ γ g ( z ) d z = ∫ − R R e i x x + i ε d x + ∫ 0 π e i ( R e i θ + θ ) R e i θ + i ε i R d θ . {displaystyle 0=int _{gamma }g(z),dz=int _{-R}^{R}{frac {e^{ix}}{x+ivarepsilon }},dx+int _{0}^{pi }{frac {e^{i(Re^{i heta }+ heta )}}{Re^{i heta }+ivarepsilon }}iR,d heta .}

Второй член исчезает, когда R {displaystyle R} стремится к бесконечности. Что касается первого интеграла, то можно использовать одну версию теоремы Сохоцкого — Племеля для интегралов по вещественной прямой: для комплексной функции f, определенной и непрерывно дифференцируемой на вещественной прямой и вещественных константах a {displaystyle a} и b {displaystyle b} , зная a < 0 < b {displaystyle a<0<b} можно найти

lim ε → 0 + ∫ a b f ( x ) x ± i ε d x = ∓ i π f ( 0 ) + P ∫ a b f ( x ) x d x , {displaystyle lim _{varepsilon o 0^{+}}int _{a}^{b}{frac {f(x)}{xpm ivarepsilon }},dx=mp ipi f(0)+{mathcal {P}}int _{a}^{b}{frac {f(x)}{x}},dx,}

где P {displaystyle {mathcal {P}}} обозначает главное значение Коши. Возвращаясь к приведенному выше исходному расчету, можно написать

0 = P ∫ e i x x d x − π i . {displaystyle 0={mathcal {P}}int {frac {e^{ix}}{x}},dx-pi i.}

Взяв мнимую часть с обеих сторон и отметив, что функция sin ⁡ ( x ) / x {displaystyle sin(x)/x} четная, мы получаем

∫ − ∞ + ∞ sin ⁡ ( x ) x d x = 2 ∫ 0 + ∞ sin ⁡ ( x ) x d x . {displaystyle int _{-infty }^{+infty }{frac {sin(x)}{x}},dx=2int _{0}^{+infty }{frac {sin(x)}{x}},dx.}

В заключение,

lim ε → 0 ∫ ε ∞ sin ⁡ ( x ) x d x = ∫ 0 ∞ sin ⁡ ( x ) x d x = π 2 . {displaystyle lim _{varepsilon o 0}int _{varepsilon }^{infty }{frac {sin(x)}{x}},dx=int _{0}^{infty }{frac {sin(x)}{x}},dx={frac {pi }{2}}.}

В качестве альтернативы можно выбрать в качестве контура интегрирования для f {displaystyle f} объединение верхних полуплоских полуокружностей радиусов ε {displaystyle varepsilon } и R {displaystyle R} вместе с двумя соединяющими их отрезками реальной линии. С одной стороны, контурный интеграл равен нулю независимо от ε {displaystyle varepsilon } и R {displaystyle R} ; с другой стороны, при ε → 0 {displaystyle varepsilon o 0} и R → ∞ {displaystyle R o infty } мнимая часть интеграла сходится к 2 I + ℑ ( ln ⁡ 0 − ln ⁡ ( π i ) ) = 2 I − π {displaystyle 2I+Im {ig (}ln 0-ln(pi i){ig )}=2I-pi } ( ln ⁡ z {displaystyle ln z} — любая ветвь логарифма на верхней полуплоскости), приводящий к I = π 2 {displaystyle I={frac {pi }{2}}} .

Ядро Дирихле

Пусть

D n ( x ) = 1 + 2 ∑ k = 1 n cos ⁡ ( 2 k x ) = sin ⁡ [ ( 2 n + 1 ) x ] sin ⁡ ( x ) {displaystyle D_{n}(x)=1+2sum _{k=1}^{n}cos(2kx)={frac {sin[(2n+1)x]}{sin(x)}}}

будет ядром Дирихле.

Отсюда следует, что

∫ 0 π 2 D n ( x ) d x = π 2 . {displaystyle int _{0}^{frac {pi }{2}}D_{n}(x)dx={frac {pi }{2}}.}

Определяем

f ( x ) = { 1 x − 1 sin ⁡ ( x ) x ≠ 0 0 x = 0 {displaystyle f(x)={egin{cases}{frac {1}{x}}-{frac {1}{sin(x)}}&x eq 0[6pt]0&x=0end{cases}}}

Ясно, что f {displaystyle f} является непрерывной, когда x ≠ 0 {displaystyle x eq 0} , чтобы увидеть её непрерывность при 0, применяется правило Лопиталя.

lim x → 0 sin ⁡ ( x ) − x x sin ⁡ ( x ) = lim x → 0 cos ⁡ ( x ) − 1 sin ⁡ ( x ) + x cos ⁡ ( x ) = lim x → 0 − sin ⁡ ( x ) 2 cos ⁡ ( x ) − x sin ⁡ ( x ) = 0. {displaystyle lim _{x o 0}{frac {sin(x)-x}{xsin(x)}}=lim _{x o 0}{frac {cos(x)-1}{sin(x)+xcos(x)}}=lim _{x o 0}{frac {-sin(x)}{2cos(x)-xsin(x)}}=0.}

Следовательно, f {displaystyle f} удовлетворяет требованиям леммы Римана-Лебега. Это означает

lim λ → ∞ ∫ a b f ( x ) sin ⁡ ( λ x ) d x = 0 ⇒ lim λ → ∞ ∫ a b sin ⁡ ( λ x ) x d x = lim λ → ∞ ∫ a b sin ⁡ ( λ x ) sin ⁡ ( x ) d x . {displaystyle lim _{lambda o infty }int _{a}^{b}f(x)sin(lambda x)dx=0Rightarrow lim _{lambda o infty }int _{a}^{b}{frac {sin(lambda x)}{x}}dx=lim _{lambda o infty }int _{a}^{b}{frac {sin(lambda x)}{sin(x)}}dx.}

(Используемая здесь форма леммы Римана-Лебега доказана в цитируемой статье.)

Выбираем пределы a = 0 {displaystyle a=0} и b = π / 2 {displaystyle b=pi /2} . Мы хотим сказать что

∫ 0 ∞ sin ⁡ ( t ) t d t = lim λ → ∞ ∫ 0 λ π 2 sin ⁡ ( t ) t d t = lim λ → ∞ ∫ 0 π 2 sin ⁡ ( λ x ) x d x = lim λ → ∞ ∫ 0 π 2 sin ⁡ ( λ x ) sin ⁡ ( x ) d x = lim n → ∞ ∫ 0 π 2 sin ⁡ ( ( 2 n + 1 ) x ) sin ⁡ ( x ) d x = lim n → ∞ ∫ 0 π 2 D n ( x ) d x = π 2 {displaystyle {egin{aligned}int _{0}^{infty }{frac {sin(t)}{t}}dt=&lim _{lambda o infty }int _{0}^{lambda {frac {pi }{2}}}{frac {sin(t)}{t}}dt[6pt]=&lim _{lambda o infty }int _{0}^{frac {pi }{2}}{frac {sin(lambda x)}{x}}dx[6pt]=&lim _{lambda o infty }int _{0}^{frac {pi }{2}}{frac {sin(lambda x)}{sin(x)}}dx[6pt]=&lim _{n o infty }int _{0}^{frac {pi }{2}}{frac {sin((2n+1)x)}{sin(x)}}dx[6pt]=&lim _{n o infty }int _{0}^{frac {pi }{2}}D_{n}(x)dx={frac {pi }{2}}end{aligned}}}

Однако для этого мы должны обосновать переключение реального предела в λ {displaystyle lambda } на интегральный предел в n {displaystyle n} . На самом деле это оправдано, если мы можем показать, что предел действительно существует. Докажем это.

Используя интегрирование по частям, мы имеем:

∫ a b sin ⁡ ( x ) x d x = ∫ a b d ( 1 − cos ⁡ ( x ) ) x d x = 1 − cos ⁡ ( x ) x | a b + ∫ a b 1 − cos ⁡ ( x ) x 2 d x {displaystyle int _{a}^{b}{frac {sin(x)}{x}}dx=int _{a}^{b}{frac {d(1-cos(x))}{x}}dx=left.{frac {1-cos(x)}{x}} ight|_{a}^{b}+int _{a}^{b}{frac {1-cos(x)}{x^{2}}}dx}

Теперь, так как a → 0 {displaystyle a o 0} и b → ∞ {displaystyle b o infty } , член слева сходится без проблем. Смотри cписок пределов тригонометрических функций. Теперь покажем, что ∫ − ∞ ∞ 1 − cos ⁡ ( x ) x 2 d x {displaystyle int _{-infty }^{infty }{frac {1-cos(x)}{x^{2}}}dx} интегрируем, что означает, что предел существует.

Сначала мы стремимся оценить интеграл вблизи начала координат. Используя разложение косинуса около нуля в ряд Тейлора,

1 − cos ⁡ ( x ) = 1 − ∑ k ≥ 0 x 2 k 2 k ! = − ∑ k ≥ 1 x 2 k 2 k ! . {displaystyle 1-cos(x)=1-sum _{kgeq 0}{frac {x^{2k}}{2k!}}=-sum _{kgeq 1}{frac {x^{2k}}{2k!}}.}

Следовательно,

| 1 − cos ⁡ ( x ) x 2 | = | − ∑ k ≥ 0 x 2 k 2 ( k + 1 ) ! | ≤ ∑ k ≥ 0 | x | k k ! = e | x | . {displaystyle left|{frac {1-cos(x)}{x^{2}}} ight|=left|-sum _{kgeq 0}{frac {x^{2k}}{2(k+1)!}} ight|leq sum _{kgeq 0}{frac {|x|^{k}}{k!}}=e^{|x|}.}

Разбив интеграл на части, получим

∫ − ∞ ∞ | 1 − cos ⁡ ( x ) x 2 | d x ≤ ∫ − ∞ − ε 2 x 2 d x + ∫ − ε ε e | x | d x + ∫ ε ∞ 2 x 2 d x ≤ K , {displaystyle int _{-infty }^{infty }left|{frac {1-cos(x)}{x^{2}}} ight|dxleq int _{-infty }^{-varepsilon }{frac {2}{x^{2}}}dx+int _{-varepsilon }^{varepsilon }e^{|x|}dx+int _{varepsilon }^{infty }{frac {2}{x^{2}}}dxleq K,}

для некоторой константы K > 0 {displaystyle K>0} . Это показывает, что интеграл абсолютно интегрируем, что означает, что исходный интеграл существует, и переход от λ {displaystyle lambda } к n {displaystyle n} был фактически оправдан, и доказательство завершено.