Многогранник Ньютона

21.05.2021

Многогранник Ньютона — многогранник с целочисленными вершинами в n-мерном Евклидовом пространстве, который строится по многочлену от n переменных.

Конструкция

Предположим

f ( x 1 , x 2 , … , x n ) = ∑ a i 1 , … , i n x 1 i 1 … x n i n {displaystyle f(x_{1},x_{2},dots ,x_{n})=sum a_{i_{1},dots ,i_{n}}x_{1}^{i_{1}}dots x_{n}^{i_{n}}}

есть многочлен от n переменных. Обозначим через I {displaystyle I} множество всех мультииндексов i 1 , … , i n {displaystyle i_{1},dots ,i_{n}} таких, что a i 1 , … , i n ≠ 0 {displaystyle a_{i_{1},dots ,i_{n}} eq 0} . По определению многочлена I {displaystyle I} конечно.

Выпуклая оболочка

N f = C o n v ⁡ I ⊂ R n {displaystyle N_{f}=mathop { m {Conv}} Isubset mathbb {R} ^{n}}

называется многогранником Ньютона многочлена f {displaystyle f} .

Свойства

  • Типичное число ненулевых решений системы полиномиальных уравнений f 1 = ⋯ = f n = 0 {displaystyle f_{1}=dots =f_{n}=0} равно n ! ⋅ V ( N 1 , … , N n ) , {displaystyle n!cdot V(N_{1},dots ,N_{n}),}
где N i {displaystyle N_{i}} многогранник Ньютона многочлена f i {displaystyle f_{i}} и V ( N 1 , … , N n ) {displaystyle V(N_{1},dots ,N_{n})} — их смешанный объём.

Вариации и обобщения

  • Многогранник Ньютона — Окунькова — аналогичная конструкция для типичных линейных комбинаций данных многочленов.