Принцип Фрагмена — Линделёфа

08.02.2021

Для аналитических функций справедлив так называемый принцип максимума модуля, который предписывает четкое расположение максимума модуля для аналитической в некоторой ограниченной области функции исключительно на границе этой области. В общем случае для неограниченных областей такое предположение неверно. Однако при наложении на функцию некоторых дополнительных ограничений можно показать, что функция будет ограничена по модулю и в неограниченной области.

Принцип Фрагмена — Линделёфа для неограниченного сектора

Пусть функция f {displaystyle f} аналитична в секторе S = { z : − π 4 < arg ⁡ z < π 4 } {displaystyle S={z:-{frac {pi }{4}}<arg z<{frac {pi }{4}}}} и непрерывна на его границе. Тогда, если на границе этого сектора справедливо неравенство | f ( z ) | ≤ 1 {displaystyle |f(z)|leq 1} и существуют постоянные c , C ∈ R {displaystyle c,Cin mathbb {R} } такие, что во всем секторе выполняется неравенство | f ( z ) | ≤ C e c | z | {displaystyle |f(z)|leq Ce^{c|z|}} , тогда неравенство | f ( z ) | ≤ 1 {displaystyle |f(z)|leq 1} справедливо во всем секторе.

Принцип Фрагмена — Линделёфа для вертикальной полуполосы

Пусть Ω = { z : I m z > y 0 , x 1 < R e z < x 2 } {displaystyle Omega ={z:mathop {mathrm {Im} } ,z>y_{0},x_{1}<mathop {mathrm {Re} } ,z<x_{2}}} — бесконечная вертикальная полуполоса, далее, пускай существуют постоянные M , A , B {displaystyle M,A,B} такие, что на границе полосы выполнено неравенство | f ( z ) | ≤ M {displaystyle |f(z)|leq M} , а в самой полосе выполняется неравенство | f ( z ) | ≤ B ( I m f ( z ) ) A {displaystyle |f(z)|leq B{(mathop {mathrm {Im} } ,f(z))}^{A}} . Тогда | f ( z ) | ≤ M {displaystyle |f(z)|leq M} выполнено во всей полосе.