Задача Бюффона о бросании иглы

09.07.2021

Задача Бюффона о бросании иглы — один из первых примеров применения метода Монте-Карло и рассмотрения понятия геометрической вероятности. Задача была сформулирована Бюффоном в 1777 году. Оказалось, что эта задача сделала возможным определение числа π вероятностными методами.

Суть задачи

Суть метода была в бросании иглы длиной L {displaystyle L} на плоскость, расчерченную параллельными прямыми, расположенными на расстоянии r {displaystyle r} друг от друга (см. Рис. 1).

Вероятность (как видно из дальнейшего контекста, речь идёт не о вероятности, а о математическом ожидании количества пересечений за один опыт; вероятностью это становится лишь при условии, что r > L {displaystyle r>L} ) того, что отрезок пересечет прямую, связана с числом Пи:

p = ∫ 0 π ∫ 0 l sin ⁡ θ 1 r π d A d θ {displaystyle p=int limits _{0}^{pi }int limits _{0}^{lsin { heta }}{frac {1}{rpi }}dAd heta } , где

  • A {displaystyle A} — расстояние от начала иглы до ближайшей к ней прямой;
  • θ {displaystyle heta } — угол иглы относительно прямых.

При условии, что r > L {displaystyle r>L} получается решение: p = 2 L r π {displaystyle p={frac {2L}{rpi ,}}} . Таким образом, подсчитав долю отрезков, пересекающих прямые, можно приближенно определить число Пи. При увеличении количества попыток точность получаемого результата будет увеличиваться.

В 1864 году капитан Фокс, выздоравливая после ранения, чтобы как-то занять себя, реализовал эксперимент по бросанию иглы. Результаты представлены в следующей таблице:

Комментарии:

  • Вращение плоскости применялось (и как показывают результаты — успешно) для того, чтобы уменьшить систематическую ошибку.
  • В третьей попытке длина иглы была больше расстояния между линиями, что позволило не увеличивая числа бросаний эффективно увеличить число событий и повысить точность.

Вариации и обобщения

  • Задача о макаронине Бюффона — вариант задачи для кривых.
  • Формула Крофтона


Имя:*
E-Mail:
Комментарий: