Центр группы

03.08.2021

Центр группы в теории групп — множество элементов данной группы, которые коммутируют со всеми её элементами:

Z ( G ) = { z ∈ G ∣ ∀ g ∈ G , z g = g z } {displaystyle Z(G)={zin Gmid forall gin G,zg=gz}} ).

Группа G {displaystyle G} является абелевой в том и только в том случае, когда её центр совпадает с ней: Z ( G ) = G {displaystyle Z(G)=G} ; в этом смысле центр группы может быть рассмотрен как мера её «абелевости»(коммутативности). Говорят, что группа не имеет центра, если центр группы тривиален, то есть состоит только из нейтрального элемента.

Элементы центра иногда называют центральными элементами группы.

Подгрупповые свойства

Центр группы всегда является её подгруппой: всегда содержит нейтральный элемент (так как он коммутирует с любым элементом группы по определению), замкнут относительно групповой операции и вместе с входящими элементами содержит их обращения.

Центр группы G всегда является нормальной подгруппой G, поскольку он замкнут относительно сопряжения. Более того, центр группы — характеристическая подгруппа, но при этом — не вполне характеристическая подгруппа.

Факторгруппа G / Z ( G ) {displaystyle G/Z(G)} изоморфна группе внутренних автоморфизмов группы G {displaystyle G} .

Классы сопряжённости и централизаторы

По определению, центр группы — это множество элементов, для которых классом сопряжённости каждого элемента является сам элемент.

Центр является также пересечением всех централизаторов всех элементов группы G.

Смежность

Ядро отображения f : G → Aut ⁡ ( G ) {displaystyle f:G o operatorname {Aut} (G)} , ставящего в соответствие элементу группы g {displaystyle g} автоморфизм, заданный формулой:

ϕ g ( h ) = g h g − 1 {displaystyle phi _{g}(h)=ghg^{-1}} ,

является в точности центром группы G, а образ отображения f называется внутренним автоморфизмом группы G, который обозначается Inn ⁡ ( G ) {displaystyle operatorname {Inn} (G)} ; по первой теореме об изоморфизме имеет место:

G / Z ( G ) ≅ I n n ( G ) {displaystyle G/Z(G)cong { m {{Inn}(G)}}} .

Коядром отображения f является группа Out ⁡ ( G ) {displaystyle operatorname {Out} (G)} внешних автоморфизмов; таким образом, имеет место точная последовательность:

1 → Z ( G ) → G → Aut ⁡ ( G ) → Out ⁡ ( G ) → 1 {displaystyle 1 o Z(G) o G o operatorname {Aut} (G) o operatorname {Out} (G) o 1} .

Примеры

  • Центром абелевой группы G является G.
  • Центром группы Гейзенберга G являются матрицы вида:
( 1 0 z 0 1 0 0 0 1 ) {displaystyle {egin{pmatrix}1&0&z&1&0&0&1end{pmatrix}}}
  • Центр неабелевой простой группы тривиален.
  • Центр диэдрической группы Dn тривиален при нечётном n. Если n чётно, центр состоит из нейтрального элемента и вращения многоугольника на 180°.
  • Центр группы кватернионов Q 8 = { 1 , − 1 , i , − i , j , − j , k , − k } {displaystyle Q_{8}={1,-1,i,-i,j,-j,k,-k}} — { 1 , − 1 } {displaystyle {1,-1}} .
  • Центр симметрической группы Sn тривиален для n ≥ 3.
  • Центр знакопеременной группы An тривиален для n ≥ 4.
  • Центр полной линейной группы GL n ( F ) {displaystyle {mbox{GL}}_{n}(F)} — это множество скалярных матриц { s I n | s ∈ F ∖ { 0 } } {displaystyle {sI_{n}|sin Fsetminus {0}}} .
  • Центром ортогональной группы O ( n , F ) {displaystyle O(n,F)} является { I n , − I n } {displaystyle {I_{n},-I_{n}}} .
  • Центром мультипликативной группы ненулевых кватернионов является мультипликативная группа ненулевых вещественных чисел.
  • Используя уравнение класса можно доказать, что центр любой нетривиальной конечной p-группы нетривиален.
  • Если факторгруппа G / Z ( G ) {displaystyle G/Z(G)} является циклической, G является абелевой (так что G = Z(G), и G / Z ( G ) {displaystyle G/Z(G)} тривиальна).
  • Факторгруппа G / Z ( G ) {displaystyle G/Z(G)} не изоморфна группе кватернионов Q 8 {displaystyle Q_{8}} .

Центральные ряды

Факторизация по центрам групп порождает последовательность групп, которая называется верхним центральным рядом:

G 0 = G → G 1 = G 0 / Z ( G 0 ) → G 2 = G 1 / Z ( G 1 ) → ⋯ {displaystyle G_{0}=G o G_{1}=G_{0}/Z(G_{0}) o G_{2}=G_{1}/Z(G_{1}) o cdots }

Ядро отображения G → G i {displaystyle G o G_{i}} — это i-й центр группы G (второй центр, третий центр, и так далее), и они обозначаются Z i ( G ) {displaystyle Z^{i}(G)} . Конкретно, ( i + 1 ) {displaystyle (i+1)} -й центр — это элементы, которые коммутируют со всеми элементами i-го центра. При этом можно определить нулевой центр группы как подгруппу из единицы. Верхний центральный ряд можно продолжить на трансфинитные числа с помощью трансфинитной индукции. Объединение всех центров ряда называется гиперцентром.

Возрастающая последовательность подгрупп:

1 ≤ Z ( G ) ≤ Z 2 ( G ) ≤ ⋯ {displaystyle 1leq Z(G)leq Z^{2}(G)leq cdots }

стабилизируется на i {displaystyle i} (что означает, Z i ( G ) = Z i + 1 ( G ) {displaystyle Z^{i}(G)=Z^{i+1}(G)} ) тогда и только тогда, когда G i {displaystyle G_{i}} не имеет центра.

Примеры

  • Для группы без центра все центры ряда нулевые, что происходит в случае Z 0 ( G ) = Z 1 ( G ) {displaystyle Z^{0}(G)=Z^{1}(G)} .
  • По лемме Грюна факторгруппа группы, совпадающей со своим коммутантом, по её центру не имеет центра, поскольку все центры более высокого порядка равны центру. Это случай стабилизации Z 1 ( G ) = Z 2 ( G ) {displaystyle Z^{1}(G)=Z^{2}(G)} .


Имя:*
E-Mail:
Комментарий: