Теоремы Шеннона для источника общего вида
Теоремы Шеннона для источника общего вида описывают возможности кодирования источника общего вида с помощью разделимых кодов. Другими словами, описываются максимально достижимые возможности кодирования без потерь.
Прямая теорема
В применении к побуквенному кодированию прямая теорема может быть сформулирована следующим образом:
Существует префиксный, то есть разделимый код, для которого средняя длина сообщений отличается от нормированной энтропии не более, чем на единицу:
E U w ( U ) < H ( U ) log 2 D + 1 {displaystyle E_{U}wleft(U ight)<{frac {Hleft(U ight)}{log _{2}D}}+1}где:
- U {displaystyle U} — некоторый источник сообщений, а также множество всех его сообщений u 1 , u 2 , . . . , u K {displaystyle u_{1},u_{2},...,u_{K}}
- w 1 , w 2 , . . . , w K {displaystyle w_{1},w_{2},...,w_{K}} — длины сообщений источника после кодирования
- E U w ( U ) {displaystyle E_{U}wleft(U ight)} — средняя длина сообщений
- H ( U ) {displaystyle Hleft(U ight)} — энтропия источника
- D {displaystyle D} — количество букв в алфавите кодирования (например, 2 для двоичного алфавита, 33 — для кодирования заглавными русскими буквами и т. д.)
В качестве доказательства теоремы исследуются характеристики кода Шеннона-Фано. Данный код удовлетворяет условиям теоремы, и он обладает указанными свойствами.
Обратная теорема
Обратная теорема ограничивает максимальную степень сжатия, достигаемую с помощью кодирования без потерь. В применении к побуквенному кодированию, описывает ограничение на среднюю длину кодового слова для любого разделимого кода.
Для любого разделимого кода с длинами w 1 , w 2 , . . . , w K {displaystyle w_{1},w_{2},...,w_{K}} средняя длина сообщений больше или равна энтропии источника U {displaystyle U} , нормированный на двоичный логарифм от числа букв D {displaystyle D} в алфавите кодера:
H ( U ) log 2 D ≤ E U w ( U ) {displaystyle {frac {Hleft(U ight)}{log _{2}D}}leq E_{U}wleft(U ight)}