Показательная функция

15.09.2021

Показательная функция — математическая функция f ( x ) = a x {displaystyle f(x)=a^{x}} , где a {displaystyle a} называется основанием степени, а x {displaystyle x} — показателем степени.

  • В вещественном случае основание степени a {displaystyle a} — некоторое неотрицательное вещественное (действительное) число, а аргументом функции является вещественный показатель степени.
  • В теории комплексных функций рассматривается более общий случай, когда аргументом и показателем степени может быть произвольное комплексное число.
  • В самом общем виде — u v {displaystyle u^{v}} , введена Лейбницем в 1695 г.

Особо выделяется случай, когда в качестве основания степени выступает число e. Такая функция называется экспонентой (вещественной или комплексной).

Вещественная функция

Определение показательной функции

Пусть a {displaystyle a} — неотрицательное вещественное число, x {displaystyle x} — рациональное число: x = m n {displaystyle x={frac {m}{n}}} . Тогда a x {displaystyle a^{x}} определяется по следующим правилам.

  • Если x > 0 {displaystyle x>0} , то a x = a m n {displaystyle a^{x}={sqrt[{n}]{a^{m}}}} .
  • Если x = 0 {displaystyle x=0} и a ≠ 0 {displaystyle a eq 0} , то a x = 1 {displaystyle a^{x}=1} .
    • Значение 0 0 {displaystyle 0^{0}} не определено (см. Раскрытие неопределённостей).
  • Если x < 0 {displaystyle x<0} и a > 0 {displaystyle a>0} , то a x = 1 a | x | {displaystyle a^{x}={frac {1}{a^{|x|}}}} .
    • Значение a x {displaystyle a^{x}} при x < 0 , a = 0 {displaystyle x<0,a=0} не определено.

Для произвольного вещественного показателя x {displaystyle x} значение a x {displaystyle a^{x}} можно определить как предел последовательности a r n {displaystyle a^{r_{n}}} , где r n {displaystyle r_{n}} — рациональные числа, сходящиеся к x {displaystyle x} . Для экспоненты есть и другие определения через предел, например:

e x = lim n → ∞ ( 1 + x n ) n . {displaystyle e^{x}=lim _{n ightarrow infty }left(1+{frac {x}{n}} ight)^{n}.}

Свойства

  • a 0 = 1 {displaystyle a^{0}=1}
  • a x + y = a x a y {displaystyle a^{x+y}=a^{x},a^{y}}
  • ( a x ) y = a x y {displaystyle (a^{x})^{y}=a^{xy}}
  • ( a b ) x = a x b x {displaystyle (ab)^{x}=a^{x},b^{x}}
  • a x {displaystyle a^{x}} / b x {displaystyle b^{x}} = ( a / b ) x {displaystyle (a/b)^{x}}

Используя функцию натурального логарифма ln x {displaystyle ln ,x} , можно выразить показательную функцию с произвольным положительным основанием через экспоненту:

a x = e x ⋅ ln ⁡ a {displaystyle a^{x}=e^{xcdot ln a}}

Эта связь позволяет ограничиться изучением свойств экспоненты.

Аналитические свойства:

d d x a x = ( ln ⁡ a ) a x . {displaystyle {d over dx}a^{x}=(ln a)a^{x}.}

В частности:

d d x e x = e x {displaystyle {d over dx}e^{x}=e^{x}} Доказательство

I. Докажем, что d d x e x = e x {displaystyle {d over dx}e^{x}=e^{x}}

lim Δ x → 0 e x + Δ x − e x Δ x = lim Δ x → 0 e x ⋅ ( e Δ x − 1 ) Δ x = e x ⋅ lim Δ x → 0 e Δ x − 1 Δ x = e x ⋅ 1 = e x {displaystyle lim _{Delta x o 0}{frac {e^{x+Delta x}-e^{x}}{Delta x}}=lim _{Delta x o 0}{frac {e^{x}cdot (e^{Delta x}-1)}{Delta x}}=e^{x}cdot lim _{Delta x o 0}{frac {e^{Delta x}-1}{Delta x}}=e^{x}cdot 1=e^{x}} . Ч. т. д.

Докажем, что lim Δ x → 0 e Δ x − 1 Δ x = 1 {displaystyle lim _{Delta x o 0}{frac {e^{Delta x}-1}{Delta x}}=1} . Пусть e Δ x − 1 = u {displaystyle e^{Delta x}-1=u} , тогда e Δ x = u + 1 ⇒ Δ x = ln ⁡ ( u + 1 ) {displaystyle e^{Delta x}=u+1Rightarrow Delta x=ln(u+1)} . Если Δ x → 0 {displaystyle Delta x o 0} , то u = e Δ x − 1 → 0 {displaystyle u=e^{Delta x}-1 o 0}

lim Δ x → 0 e Δ x − 1 Δ x = lim u → 0 u ln ⁡ ( u + 1 ) = lim u → 0 1 1 u ln ⁡ ( u + 1 ) = lim u → 0 1 ln ⁡ ( u + 1 ) 1 u = lim u → 0 1 lim u → 0 ln ⁡ ( u + 1 ) 1 u = 1 ln ⁡ lim u → 0 ( u + 1 ) 1 u = 1 ln ⁡ e = 1. {displaystyle lim _{Delta x o 0}{frac {e^{Delta x}-1}{Delta x}}=lim _{u o 0}{frac {u}{ln(u+1)}}=lim _{u o 0}{frac {1}{{frac {1}{u}}ln(u+1)}}=lim _{u o 0}{frac {1}{ln(u+1)^{frac {1}{u}}}}={frac {lim _{u o 0}1}{lim _{u o 0}ln(u+1)^{frac {1}{u}}}}={frac {1}{ln lim _{u o 0}(u+1)^{frac {1}{u}}}}={frac {1}{ln e}}=1.}

II. d d x a x = d d x ( e ln ⁡ a ) x = d d x e x ⋅ ln ⁡ a = e x ⋅ ln ⁡ a ⋅ ln ⁡ a = a x ⋅ ln ⁡ a {displaystyle {d over dx}a^{x}={d over dx}left(e^{ln a} ight)^{x}={d over dx}e^{xcdot ln a}=e^{xcdot ln a}cdot ln a=a^{x}cdot ln a} Ч. т. д.

Разложение в ряд:

e x = ∑ n = 0 ∞ x n n ! = 1 + x + x 2 2 ! + x 3 3 ! + x 4 4 ! + ⋯ {displaystyle e^{x}=sum _{n=0}^{infty }{x^{n} over n!}=1+x+{x^{2} over 2!}+{x^{3} over 3!}+{x^{4} over 4!}+cdots } .

Асимптотика

Показательная функция растёт на бесконечности быстрее любой полиномиальной:

lim x → ∞ x n a x = 0 {displaystyle lim limits _{x o infty }{frac {x^{n}}{a^{x}}}=0}

Большая скорость роста может быть проиллюстрирована, например, задачей о складывании бумаги.

Потенцирование и антилогарифм

Потенцирование (от нем. potenzieren) — нахождение числа по известному значению его логарифма, то есть решение уравнения log a ⁡ x = b {displaystyle log _{a}x=b} . Из определения логарифма вытекает, что x = a b {displaystyle x=a^{b}} , таким образом, возведение a {displaystyle a} в степень b {displaystyle b} может быть названо другими словами «потенцированием b {displaystyle b} по основанию a {displaystyle a} », или вычислением показательной функции от b {displaystyle b} .

Антилогарифм числа x — результат потенцирования, то есть число, логарифм которого (при заданном основании a {displaystyle a} ) равен числу x {displaystyle x} :

ant ⁡ log a ⁡ x = a x . {displaystyle operatorname {ant} log _{a}{x}=a^{x}.}

Как самостоятельное понятие антилогарифм используется в логарифмических таблицах, логарифмических линейках, микрокалькуляторах. Например, для извлечения кубического корня из числа a {displaystyle a} по логарифмическим таблицам следует найти логарифм числа a , {displaystyle a,} разделить его на 3 и затем (по таблице антилогарифмов) найти антилогарифм результата.

Аналогично логарифмам, антилогарифм по основанию e {displaystyle e} или 10 называется натуральным или десятичным, соответственно.

Антилогарифм также называют обращённым логарифмом.

В инженерных калькуляторах потенцирование стандартно представлено в виде двух функций: e x {displaystyle e^{x}} и 10 x {displaystyle 10^{x}} .

Комплексная функция

Для расширения экспоненты на комплексную плоскость определим её с помощью того же ряда, заменив вещественный аргумент на комплексный:

e z = ∑ n = 0 ∞ z n n ! = 1 + z + z 2 2 ! + z 3 3 ! + z 4 4 ! + ⋯ {displaystyle e^{z}=sum _{n=0}^{infty }{z^{n} over n!}=1+z+{z^{2} over 2!}+{z^{3} over 3!}+{z^{4} over 4!}+cdots }

Эта функция имеет те же основные алгебраические и аналитические свойства, что и вещественная. Отделив в ряде для e i x {displaystyle e^{ix}} вещественную часть от мнимой, мы получаем знаменитую формулу Эйлера:

e i x = cos ⁡ x + i sin ⁡ x {displaystyle e^{ix}=cos x+isin x}

Отсюда вытекает, что комплексная экспонента периодична вдоль мнимой оси:

e z + 2 π i = e z {displaystyle e^{z+2pi i}=e^{z}}

Показательная функция с произвольным комплексным основанием и показателем степени легко вычисляется с помощью комплексной экспоненты и комплексного логарифма.

Пример: i i = e i ⋅ ln ⁡ ( i ) {displaystyle i^{i}=e^{icdot ln(i)}} ; поскольку ln ⁡ ( i ) = i π 2 {displaystyle ln(i)=i{frac {pi }{2}}} (главное значение логарифма), окончательно получаем: i i = e i i π 2 = e − π 2 {displaystyle i^{i}=e^{i{frac {ipi }{2}}}=e^{-{frac {pi }{2}}}} .



Имя:*
E-Mail:
Комментарий: