Функция расходов

22.09.2021

Функция расходов — в микроэкономике (теория потребления) — функция зависимости минимальных расходов потребителя от цен на блага и требуемой (минимальной) величины полезности или объёма благ с заданной полезностью. Представляет собой денежную оценку хиксианского спроса.

Формальное определение

Двойственная задача потребителя заключается в выборе такого набора благ h {displaystyle h} , чтобы его полезность была не меньше заданной полезности (полезности заданного набора x {displaystyle x} ), а совокупные расходы p h {displaystyle ph} были минимальными ( p {displaystyle p} — вектор цен на блага). То есть

p h → m i n , { h ∈ R + n : u ( h ) ≥ u ∗ ( x ) } {displaystyle ph ightarrow min,{hin { extbf {R}}_{+}^{n}:u(h)geq u^{*}(x)}}

Решение этой задачи — h ( p , u ∗ ) {displaystyle h(p,u^{*})} — спрос Хикса.

Функцией расходов e ( p , u ∗ ) {displaystyle e(p,u^{*})} называют зависимость затрат на приобретение набора h ( p , u ∗ ) {displaystyle h(p,u^{*})} от p {displaystyle p} и u ∗ {displaystyle u^{*}} ), то есть:

e ( p , u ∗ ) = p h ( p , u ∗ ) {displaystyle e(p,u^{*})=ph(p,u^{*})}

Поскольку решение двойственной задачи потребителя достигается на границе допустимого множества, то есть u ( h ) = u ∗ ( x ) {displaystyle u(h)=u^{*}(x)} , то иногда в качестве аргументов функции расходов используется не значение полезности u ∗ {displaystyle u^{*}} , а потребительский набор x {displaystyle x} , полезность которой равна u ∗ {displaystyle u^{*}} , то есть:

e ( p , x ) = p h ( p , u ( x ) ) {displaystyle e(p,x)=ph(p,u(x))}

Свойства

При некоторых слабых предположениях (неоклассические непрерывные предпочтения потребителя) функция расходов является непрерывной функцией и по вектору p {displaystyle p} — вогнутой (выпуклой вверх), однородной первой степени и не убывающей функцией. Кроме того можно показать, что если набор x {displaystyle x} «не хуже» набора y {displaystyle y} в смысле нестрогого отношения предпочтения, то e ( p , x ) ⩾ e ( p , y ) {displaystyle e(p,x)geqslant e(p,y)} .

Спрос Хикса равен частной производной функции расходов по ценам (Лемма Шепарда).



Имя:*
E-Mail:
Комментарий: