Эргодическое распределение

29.10.2021

Определение

Пусть { X n } n ≥ 0 {displaystyle {X_{n}}_{ngeq 0}} - однородная цепь Маркова с дискретным временем и счётным числом состояний. Обозначим

p i j ( n ) = P ( X n = j ∣ X 0 = i ) {displaystyle p_{ij}^{(n)}=mathbb {P} (X_{n}=jmid X_{0}=i)}

переходные вероятности за n {displaystyle n} шагов. Если существует дискретное распределение π = ( π 1 , π 2 , … ) ⊤ {displaystyle pi =(pi _{1},pi _{2},ldots )^{ op }} , такое что π i > 0 , i ∈ N {displaystyle pi _{i}>0,;iin mathbb {N} } и

lim n → ∞ p i j ( n ) = π j , ∀ i = 1 , 2 , … {displaystyle lim limits _{n o infty }p_{ij}^{(n)}=pi _{j},quad forall i=1,2,ldots } ,

то оно называется эргодическим распределением, а сама цепь называется эргодической.

Основная теорема об эргодических распределениях

Пусть { X n } n ≥ 0 {displaystyle {X_{n}}_{ngeq 0}} - цепь Маркова с дискретным пространством состояний и матрицей переходных вероятностей P = ( p i j ) , i , j = 1 , 2 , … {displaystyle P=(p_{ij}),;i,j=1,2,ldots } . Тогда эта цепь является эргодической тогда и только тогда, когда она

  • неразложима;
  • положительно возвратна;
  • апериодична.
  • Эргодическое распределение π {displaystyle mathbf {pi } } тогда является единственным решением системы:

    ∑ i = 0 ∞ π i = 1 , π j ≥ 0 , π j = ∑ i = 0 ∞ π i p i j , j ∈ N {displaystyle sum limits _{i=0}^{infty }pi _{i}=1,;pi _{j}geq 0,;pi _{j}=sum limits _{i=0}^{infty }pi _{i},p_{ij},quad ,jin mathbb {N} } .

    Имя:*
    E-Mail:
    Комментарий: