Сверхсоставное число

24.11.2021

Сверхсоставное число — натуральное число с большим числом делителей, чем любое меньшее натуральное число.

История

Термин был предложен Рамануджаном в 1915 году. Однако Жан-Пьер Кахане рассматривал их раньше, и, возможно, они были известны уже Платону, который описал число 5040 как идеальное количество граждан города, так как 5040 имеет больше делителей, чем любое меньшее число.

Примеры

В таблице представлены первые 38 сверхсоставных числа (последовательность A002182 в OEIS).

Разложение на простые

В разложении сверхсоставных чисел участвуют самые маленькие простые множители, и при этом не слишком много одних и тех же.

По основной теореме арифметики каждое натуральное число n {displaystyle n} имеет единственное разложение на простые:

n = p 1 c 1 × p 2 c 2 × ⋯ × p k c k ( 1 ) {displaystyle n=p_{1}^{c_{1}} imes p_{2}^{c_{2}} imes cdots imes p_{k}^{c_{k}}qquad (1)}

где p 1 < p 2 < ⋯ < p k {displaystyle p_{1}<p_{2}<cdots <p_{k}} простые, и степени c i {displaystyle c_{i}} положительные целые числа. Число делителей d ( n ) {displaystyle d(n)} числа n {displaystyle n} можно выразить следующим образом:

d ( n ) = ( c 1 + 1 ) × ( c 2 + 1 ) × ⋯ × ( c k + 1 ) . ( 2 ) {displaystyle d(n)=(c_{1}+1) imes (c_{2}+1) imes cdots imes (c_{k}+1).qquad (2)}

Таким образом, для сверхсоставного числа n {displaystyle n} выполняется следующее

  • Числа p 1 , p 2 , … , p k {displaystyle p_{1},p_{2},dots ,p_{k}} являются первыми k {displaystyle k} простыми числами.
  • Последовательность степеней должна быть невозрастающей, то есть c 1 ≥ c 2 ≥ ⋯ ≥ c k {displaystyle c_{1}geq c_{2}geq cdots geq c_{k}} .
    • Это свойство равносильно тому, что сверхсоставное число является произведением праймориалов.
  • За исключением двух особых случаев n = 4 И N = 36, последняя степень c k {displaystyle c_{k}} равна единице.

В частности 1, 4 и 36 являются единственными сверхсоставными квадратами.

Хотя описанные выше условия являются необходимыми, они не являются достаточными. Например, 96 = 25 × 3 удовлетворяет всем вышеперечисленным условиям и имеет 12 делителей, но не является сверхсоставным, поскольку существует меньшее число 60, которое имеет то же число делителей.

Асимптотический рост и плотность

Существуют постоянные a и b, обе больше, чем 1, такие, что

ln ⁡ ( x ) a ≤ Q ( x ) ≤ ln ⁡ ( x ) b , {displaystyle ln(x)^{a}leq Q(x)leq ln(x)^{b},}

Где Q ( x ) {displaystyle Q(x)} обозначает число сверхсоставных чисел меньше либо равных x {displaystyle x} .

Первая часть неравенства была доказана Палом Эрдешем в 1944 году; вторую доказал Жан-Луи Николас в 1988 году.

Известно также, что

1,138 62 < lim inf log ⁡ Q ( x ) log ⁡ log ⁡ x ≤ 1 , 44 {displaystyle 1{,}13862<liminf {frac {log Q(x)}{log log x}}leq 1{,}44}

и

lim sup log ⁡ Q ( x ) log ⁡ log ⁡ x ≤ 1 , 71. {displaystyle limsup {frac {log Q(x)}{log log x}}leq 1{,}71.}

Свойства

  • Все сверхсоставные числа, большие 6, являются избыточными.
  • Не все сверхсоставные числа являются числами харшад по основанию 10;
    • первый контрпример это 245 044 800, это число имеет сумму цифр 27, но на 27 не делится.


Имя:*
E-Mail:
Комментарий: