Гельмгольциан

20.12.2021

Гельмгольциан — в гидродинамике векторный (преобразующий векторное поле в векторное поле) линейный дифференциальный оператор, определяемый для движущейся жидкости или газа. Гельмгольциан обозначается символом   helm {displaystyle operatorname {helm} } . Гельмгольциан над векторным полем A {displaystyle mathbf {A} } определяется формулой

  helm ⁡ A ≡ ∂ A ∂ t + ( v ⋅ ∇ ) A − ( A ⋅ ∇ ) v + A ( ∇ ⋅ v ) {displaystyle operatorname {helm} mathbf {A} equiv {frac {partial mathbf {A} }{partial t}}+(vcdot abla )mathbf {A} -(mathbf {A} cdot abla )v+mathbf {A} ( abla cdot v)} ,

где v {displaystyle mathbf {v} } — вектор скорости потока жидкости или газа, ∇ {displaystyle abla } — оператор набла.

Оператор гельмгольциан внедрён в обиход Александром Александровичем Фридманом, и назван в честь Германа Гельмгольца.

Гидродинамический смысл гельмгольциана заключается в том, что равенство   helm ⁡ A = 0 {displaystyle operatorname {helm} mathbf {A} =0} означает «вмороженность» векторного поля   A {displaystyle mathbf {A} } в движущуюся жидкость, понимаемую в том смысле, что каждая векторная линия этого поля (то есть линия, касательная к которой в любой её точке имеет направление вектора   A {displaystyle mathbf {A} } в этой точке) сохраняется, то есть всё время состоит из одних и тех же частиц жидкости, а интенсивность векторных трубок (стенки которых состоят из векторных линий), то есть потоки   ∫ σ ( A ⋅ d σ ) {displaystyle int limits _{sigma }(mathbf {A} cdot dmathbf {sigma } )} вектора   A {displaystyle mathbf {A} } через любые сечения   σ {displaystyle mathbf {sigma } } этих трубок, не меняются со временем. Гельмгольциан используется в геофизической гидродинамике, магнитной гидродинамике.



Имя:*
E-Mail:
Комментарий: