Измерительный мост

08.02.2022

Измерительный мост (мост Уитстона, мостик Витстона, англ. Wheatstone bridge) — электрическая схема или устройство для измерения электрического сопротивления. Предложен в 1833 году Самуэлем Хантером Кристи (англ. Samuel Hunter Christie) и в 1843 году усовершенствован Чарльзом Уитстоном. Мост Уитстона относится к одинарным мостам в отличие от двойных мостов Томсона. Мост Уитстона — электрическое устройство, механическим аналогом которого являются аптекарские рычажные весы.

Измерение сопротивлений с помощью моста Уитстона

Принцип измерения сопротивления основан на уравнивании потенциала средних выводов двух ветвей (см. рисунок).

  • В одну из ветвей включён двухполюсник (резистор), сопротивление которого требуется измерить ( R x {displaystyle R_{x}} ).
  • Другая ветвь содержит элемент, сопротивление которого может регулироваться ( R 2 {displaystyle R_{2}} ; например, реостат).

    Между ветвями (точками B и D; см. рисунок) находится индикатор. В качестве индикатора могут применяться:

    • гальванометр;
    • нуль-индикатор — прибор, отклонение стрелки которого показывает наличие тока в цепи и его направление, но не величину. На шкале такого прибора отмечено только одно число — ноль;
    • вольтметр ( R G {displaystyle R_{G}} принимают равным бесконечности: R G = ∞ {displaystyle R_{G}=infty } );
    • амперметр ( R G {displaystyle R_{G}} принимают равным нулю: R G = 0 {displaystyle R_{G}=0} ).

    Обычно в качестве индикатора используется гальванометр.

  • Сопротивление R 2 {displaystyle R_{2}} второй ветви изменяют до тех пор, пока показания гальванометра не станут равны нулю, то есть потенциалы точек узлов D и B не станут равны. По отклонению стрелки гальванометра в ту или иную сторону можно судить о направлении протекания тока на диагонали моста BD (см. рисунок) и указывают в какую сторону изменять регулируемое сопротивление R 2 {displaystyle R_{2}} для достижения «баланса моста».
  • Когда гальванометр показывает ноль, говорят, что наступило «равновесие моста» или «мост сбалансирован». При этом:

    • отношение R 2 / R 1 {displaystyle R_{2}/R_{1}} равно отношению R x / R 3 {displaystyle R_{x}/R_{3}} :
    R 2 R 1 = R x R 3 , {displaystyle {frac {R_{2}}{R_{1}}}={frac {R_{x}}{R_{3}}},}

    откуда

    R x = R 2 R 3 R 1 ; {displaystyle R_{x}={frac {R_{2}R_{3}}{R_{1}}};}
    • разность потенциалов между точками B и D (см. рисунок) равна нулю;
    • ток по участку BD (через гальванометр) (см. рисунок) не протекает (равен нулю).

    Сопротивления R 1 {displaystyle R_{1}} , R 3 {displaystyle R_{3}} должны быть известны заранее.

  • Изменяют сопротивление R 2 {displaystyle R_{2}} до баланса моста.
  • Вычисляют искомое сопротивление R x {displaystyle R_{x}} :
  • R x = R 2 R 3 R 1 . {displaystyle R_{x}={frac {R_{2}R_{3}}{R_{1}}}.}

    Вывод формулы см. ниже.

    Точность

    При плавном изменении сопротивления R 2 {displaystyle R_{2}} гальванометр способен зафиксировать момент наступления равновесия с большой точностью. Если величины R 1 {displaystyle R_{1}} , R 2 {displaystyle R_{2}} и R 3 {displaystyle R_{3}} были измерены с малой погрешностью, величина R x {displaystyle R_{x}} будет вычислена с большой точностью.

    В процессе измерения сопротивление R x {displaystyle R_{x}} не должно изменяться, так как даже небольшие его изменения приведут к нарушению баланса моста.

    Недостатки

    К недостаткам предложенного способа можно отнести:

    • необходимость регулирования сопротивления R 2 {displaystyle R_{2}} . На поиски «равновесия» тратится время. Гораздо быстрее измерить несколько параметров цепи и вычислить R x {displaystyle R_{x}} по другой формуле.

    Условие баланса моста

    Выведем формулу для расчёта сопротивления R x {displaystyle R_{x}} .

    Первый способ

    Считается, что сопротивление гальванометра R G {displaystyle R_{G}} мало настолько, что им можно пренебречь ( R G = 0 {displaystyle R_{G}=0} ). То есть, можно вообразить, что точки B и D соединены (см. рисунок).

    Воспользуемся правилами (законами) Кирхгофа. Выберем:

    • направления токов — см. рисунок;
    • направления обхода замкнутых контуров — по часовой стрелке.

    По первому правилу Кирхгофа сумма токов, входящих в точку (узел) равна нулю:

    • для точки (узла) B:
    I 3   + I G   − I x   =   0 ; {displaystyle I_{3} +I_{G} -I_{x} = 0;}
    • для точки (узла) D:
    I 1   − I 2   − I G   =   0. {displaystyle I_{1} -I_{2} -I_{G} = 0.}

    По второму правилу Кирхгофа сумма напряжений в ветвях замкнутого контура равна сумме ЭДС в ветвях этого контура:

    • для контура ABD:
    ( R 3 ⋅ I 3 )   − ( R G ⋅ I G )   − ( R 1 ⋅ I 1 ) = 0 ; {displaystyle (R_{3}cdot I_{3}) -(R_{G}cdot I_{G}) -(R_{1}cdot I_{1})=0;}
    • для контура BCD:
    ( R x ⋅ I x )   − ( R 2 ⋅ I 2 )   + ( R G ⋅ I G ) = 0. {displaystyle (R_{x}cdot I_{x}) -(R_{2}cdot I_{2}) +(R_{G}cdot I_{G})=0.}

    Запишем 4‑е последних уравнения для «сбалансированного моста» (то есть учтём, что I G = 0 {displaystyle I_{G}=0} ):

    { I 3 = I x I 1 = I 2 R 3 ⋅ I 3 = R 1 ⋅ I 1 R x ⋅ I x = R 2 ⋅ I 2 {displaystyle {egin{cases}I_{3}=I_{x}I_{1}=I_{2}R_{3}cdot I_{3}=R_{1}cdot I_{1}R_{x}cdot I_{x}=R_{2}cdot I_{2}end{cases}}}

    Поделив 4‑е уравнение на 3‑е, получим:

    R x ⋅ I x R 3 ⋅ I 3 = R 2 ⋅ I 2 R 1 ⋅ I 1 . {displaystyle {frac {R_{x}cdot I_{x}}{R_{3}cdot I_{3}}}={frac {R_{2}cdot I_{2}}{R_{1}cdot I_{1}}}.}

    Выразив R x {displaystyle R_{x}} , получим:

    R x = R 2 ⋅ I 2 ⋅ R 3 ⋅ I 3 I 1 ⋅ R 1 ⋅ I x . {displaystyle R_{x}={frac {R_{2}cdot I_{2}cdot R_{3}cdot I_{3}}{I_{1}cdot R_{1}cdot I_{x}}}.}

    С учётом того, что

    { I 3 = I x I 1 = I 2 {displaystyle {egin{cases}I_{3}=I_{x}I_{1}=I_{2}end{cases}}}

    получим

    R x = R 2 ⋅ R 3 R 1 . {displaystyle R_{x}={frac {R_{2}cdot R_{3}}{R_{1}}}.} Второй способ

    Считается, что сопротивление гальванометра R G {displaystyle R_{G}} велико настолько, что точки B и D можно считать не соединёнными (см. рисунок) ( R G = ∞ {displaystyle R_{G}=infty } ).

    Введём обозначения:

    • φ A {displaystyle varphi _{A}} , φ B {displaystyle varphi _{B}} , φ C {displaystyle varphi _{C}} и φ D {displaystyle varphi _{D}} — соответственно потенциалы точек A, B, C и D, В;
    • U A C {displaystyle U_{AC}} — напряжение между точками C и A, В:
    U A C = φ A − φ C ; {displaystyle U_{AC}=varphi _{A}-varphi _{C};}
    • U D B {displaystyle U_{DB}} — напряжение между точками D и B, В:
    U D B = φ D − φ B ; {displaystyle U_{DB}=varphi _{D}-varphi _{B};}
    • R A D C {displaystyle R_{ADC}} — сопротивление участка ADC (последовательное соединение), Ом:
    R A D C = R 1 + R 2 ; {displaystyle R_{ADC}=R_{1}+R_{2};}
    • R A B C {displaystyle R_{ABC}} — сопротивление участка ABC (последовательное соединение), Ом:
    R A B C = R 3 + R x ; {displaystyle R_{ABC}=R_{3}+R_{x};}
    • I A D C {displaystyle I_{ADC}} , I A B C {displaystyle I_{ABC}} — токи, протекающие на участках ADC и ABC соответственно, А.

    По закону Ома токи I A D C {displaystyle I_{ADC}} , I A B C {displaystyle I_{ABC}} равны:

    I A D C = U A C R A D C = U A C R 1 + R 2 ; {displaystyle I_{ADC}={frac {U_{AC}}{R_{ADC}}}={frac {U_{AC}}{R_{1}+R_{2}}};} I A B C = U A C R A B C = U A C R 3 + R x . {displaystyle I_{ABC}={frac {U_{AC}}{R_{ABC}}}={frac {U_{AC}}{R_{3}+R_{x}}}.}

    По закону Ома падения напряжения на участках DC и BC равны:

    U D C = I A D C ⋅ R 2 ; {displaystyle U_{DC}=I_{ADC}cdot R_{2};} U B C = I A B C ⋅ R x . {displaystyle U_{BC}=I_{ABC}cdot R_{x}.}

    Потенциалы в точках D и B равны:

    φ D = φ C + U D C = φ C + I A D C ⋅ R 2 ; {displaystyle varphi _{D}=varphi _{C}+U_{DC}=varphi _{C}+I_{ADC}cdot R_{2};} φ B = φ C + U B C = φ C + I A B C ⋅ R x . {displaystyle varphi _{B}=varphi _{C}+U_{BC}=varphi _{C}+I_{ABC}cdot R_{x}.}

    Напряжение между точками D и B равно:

    U D B = φ D − φ B = ( φ C + I A D C ⋅ R 2 )   − ( φ C + I A B C ⋅ R x )   = I A D C ⋅ R 2 − I A B C ⋅ R x . {displaystyle U_{DB}=varphi _{D}-varphi _{B}=left(varphi _{C}+I_{ADC}cdot R_{2} ight) -left(varphi _{C}+I_{ABC}cdot R_{x} ight) =I_{ADC}cdot R_{2}-I_{ABC}cdot R_{x}.}

    Подставив выражения для токов I A D C {displaystyle I_{ADC}} и I A B C {displaystyle I_{ABC}} , получим:

    U D B = U A C R 1 + R 2 ⋅ R 2 − U A C R 3 + R x ⋅ R x . {displaystyle U_{DB}={frac {U_{AC}}{R_{1}+R_{2}}}cdot R_{2}-{frac {U_{AC}}{R_{3}+R_{x}}}cdot R_{x}.}

    Учитывая, что для «сбалансированного моста» U D B = 0 {displaystyle U_{DB}=0} , получим:

    0 = U A C R 1 + R 2 ⋅ R 2 − U A C R 3 + R x ⋅ R x . {displaystyle 0={frac {U_{AC}}{R_{1}+R_{2}}}cdot R_{2}-{frac {U_{AC}}{R_{3}+R_{x}}}cdot R_{x}.}

    Поместив слагаемые по разные стороны от знака равенства, получим:

    U A C R 1 + R 2 ⋅ R 2 = U A C R 3 + R x ⋅ R x . {displaystyle {frac {U_{AC}}{R_{1}+R_{2}}}cdot R_{2}={frac {U_{AC}}{R_{3}+R_{x}}}cdot R_{x}.}

    Сократив U A C {displaystyle U_{AC}} , получим:

    R 2 R 1 + R 2 = R x R 3 + R x . {displaystyle {frac {R_{2}}{R_{1}+R_{2}}}={frac {R_{x}}{R_{3}+R_{x}}}.}

    Умножив на произведение знаменателей, получим:

    R 2 ⋅ ( R 3 + R x ) = R x ⋅ ( R 1 + R 2 ) . {displaystyle R_{2}cdot (R_{3}+R_{x})=R_{x}cdot (R_{1}+R_{2}).}

    Раскрыв скобки, получим:

    R 2 ⋅ R 3 + R 2 ⋅ R x = R x ⋅ R 1 + R x ⋅ R 2 . {displaystyle R_{2}cdot R_{3}+R_{2}cdot R_{x}=R_{x}cdot R_{1}+R_{x}cdot R_{2}.}

    После вычитания R x ⋅ R 2 {displaystyle R_{x}cdot R_{2}} получим:

    R 2 ⋅ R 3 = R 1 ⋅ R x . {displaystyle R_{2}cdot R_{3}=R_{1}cdot R_{x}.}

    Выразив R x {displaystyle R_{x}} , получим:

    R x = R 2 ⋅ R 3 R 1 . {displaystyle R_{x}={frac {R_{2}cdot R_{3}}{R_{1}}}.}

    В данном случае мостовая схема рассматривалась, как комбинация двух делителей, а влияние гальванометра считалось пренебрежимо малым.

    Общее сопротивление без выполнения условия баланса

    В случае, если условие баланса не выполнено, расчёт общего сопротивления довольно громоздкий.

    Пользуясь правилами Кирхгофа, получаем систему уравнений:

    { I Σ = I 1 + I 4 = I 2 + I 3 I 5 = I 1 − I 2 = I 4 − I 3 R Σ ⋅ I Σ = R 1 ⋅ I 1 + R 2 ⋅ I 2 = R 3 ⋅ I 3 + R 4 ⋅ I 4 R 5 ⋅ I 5 = R 4 ⋅ I 4 − R 1 ⋅ I 1 = R 2 ⋅ I 2 − R 3 ⋅ I 3 {displaystyle {egin{cases}I_{Sigma }=I_{1}+I_{4}=I_{2}+I_{3}I_{5}=I_{1}-I_{2}=I_{4}-I_{3}R_{Sigma }cdot I_{Sigma }=R_{1}cdot I_{1}+R_{2}cdot I_{2}=R_{3}cdot I_{3}+R_{4}cdot I_{4}R_{5}cdot I_{5}=R_{4}cdot I_{4}-R_{1}cdot I_{1}=R_{2}cdot I_{2}-R_{3}cdot I_{3}end{cases}}}

    Тогда после исключения из системы всех токов получим окончательный результат, представленный в наиболее кратком виде:

    R Σ = ∑ 1 = i < j < k 5 R i R j R k − R 5 ( R 1 R 4 + R 2 R 3 ) ∑ 1 = i < j 5 R i R j − ( R 1 R 2 + R 3 R 4 ) , {displaystyle R_{Sigma }={frac {sum _{1=i<j<k}^{5}R_{i}R_{j}R_{k}-R_{5}left(R_{1}R_{4}+R_{2}R_{3} ight)}{sum _{1=i<j}^{5}R_{i}R_{j}-left(R_{1}R_{2}+R_{3}R_{4} ight)}},}

    где в суммах в числителе и в знаменателе суммируются все возможные комбинации из произведений сопротивлений без повторений сомножителей (всего таких комбинаций по десять).

    Схемы подключения

    На практике для измерения сопротивления с помощью мостовых схем применяют двухпроводное и четырёхпроводное подключение.

    Двухпроводная схема подключения применяется при измерениях сопротивлений величиной выше 10 Ом. К точкам B и C (см. рисунок) подключаются по одному проводу.

    Четырёхпроводная схема подключения применяется при измерении сопротивления величиной до 10 Ом. К точкам B и C (см. рисунок) подключаются по два провода. Это позволяет исключить влияние сопротивления проводов на величину измеренного сопротивления R x {displaystyle R_{x}} .

    История создания

    В 1833 году Самуэль Хантер Кристи (англ. Samuel Hunter Christie) предложил схему, позже получившую название «мост Уитстона».

    В 1843 году схема была усовершенствована Чарльзом Уитстоном (англ. Charles Wheatstone) и стала называться «мостом Уитстона».

    В 1861 году лорд Кельвин использовал мост Уитстона для измерения малых сопротивлений.

    В 1865 году Максвелл с помощью изменённого моста Уитстона измерял силу переменного тока.

    В 1926 году Алан Блюмлейн усовершенствовал мост Уитстона и запатентовал. Новое устройство стали называть в честь изобретателя.

    Классификация

    В промышленности широко применяются уравновешенные и неуравновешенные измерительные мосты.

    Работа уравновешенных мостов (наиболее точных) основана на «нулевом методе».

    С помощью неуравновешенных мостов (менее точных) измеряемую величину определяют по показаниям измерительного прибора.

    Измерительные мосты подразделяются на неавтоматические и автоматические.

    В неавтоматических мостах балансирование производится вручную (оператором).

    В автоматических балансировка моста происходит с помощью сервопривода по величине и знаку напряжения между точками D и B (см. рисунок).

    Применение для измерения неэлектрических величин

    Мост Уитстона часто используется для измерения самых разнообразных неэлектрических параметров, например:

    • механических деформаций упругих элементов в тензометрии;
    • температуры;
    • освещённости;
    • состава вещества, в том числе влажности и газовом анализе;
    • теплопроводности и теплоёмкости и многого другого.

    Принцип действия всех этих приборов основан на измерении сопротивления чувствительного резистивного элемента-датчика, сопротивление которого изменяется при изменении воздействующей на него неэлектрической величины. Резистивный датчик (датчики) включается электрически в одно или несколько плеч моста Уитстона и измерение неэлектрической величины сводится к измерению изменения сопротивления датчиков.

    Применение моста Уитстона в этих приложениях обусловлено тем, что позволяет измерять относительно малое изменение сопротивления, то есть в случаях когда Δ R x / R x ≪ 1. {displaystyle Delta R_{x}/R_{x}ll 1.}

    Обычно в современных измерительных приборах мост Уитстона подключается через аналого-цифровой преобразователь к цифровому вычислительному устройству, например, к микроконтроллеру, обрабатывающему сигнал моста. При обработке, как правило, производится линеаризация, масштабирование с преобразованием в численное значение неэлектрической величины в единицы её измерения, коррекция систематических погрешностей датчиков и измерительной схемы, индикация в удобном и наглядном для пользователя цифровом и/или машинно-графическом виде. Также может производиться статистическая обработка измерений, гармонический анализ и другие виды обработки.

    Принцип работы тензометрических измерителей

    Тензодатчики тензорезисторы применяются в:

    • электронных весах;
    • динамометрах
    • измерителях давления (манометрах);
    • измерителях крутящего момента на валах (торсиометрах);
    • измерителях деформации деталей под воздействием механической нагрузки и др.

    При этом тензорезисторы, наклеенные на упругие деформируемые детали включаются в плечи моста, а полезным сигналом является напряжение диагонали моста между точками D и B (см. рисунок).

    Если выполняется соотношение:

    R 1 / R 2 = R 3 / R x , {displaystyle R_{1}/R_{2}=R_{3}/R_{x},}

    то независимо от напряжения на диагонали моста между точками A и C (напряжения) между точками D и B ( U D B {displaystyle U_{DB}} )) будет равно нулю:

    U D B = 0. {displaystyle U_{DB}=0.}

    Но если R 1 / R 2 ≠ R 3 / R x , {displaystyle R_{1}/R_{2} eq R_{3}/R_{x},} то на диагонали появится ненулевое напряжение («разбаланс» моста), однозначно связанное с изменением сопротивления тензорезистора, и, соответственно, с величиной деформации упругого элемента, при измерении разбаланса моста измеряют деформацию, а так как деформация связана, например, в случае весов, с весом взвешиваемого тела, то и в результате измеряют его вес.

    Для измерения знакопеременных деформаций помимо тензодатчиков часто используют пьезоэлектрические датчики. Последние в этих приложениях вытеснили тензодатчики благодаря лучшим техническим и эксплуатационным характеристикам. Недостатком пьезодатчиков является непригодность их для измерения медленных или статических деформаций.

    Измерения других неэлектрических величин

    Описанный принцип измерения деформации с помощью тензорезисторов в тензометрии сохраняется для измерения иных неэлектрических величин с применением других резистивных датчиков, сопротивление которых изменяется под воздействием неэлектрической величины.

    Измерение температуры

    В этих приложениях применяются резистивные датчики, находящиеся в тепловом равновесии с изучаемым телом, сопротивление датчиков изменяется при изменении их температуры. Также применяются датчики не контактирующие непосредственно с изучаемым телом, а измеряющие интенсивность теплового излучения от объекта, например, болометрические пирометры.

    В качестве термочувствительных датчиков обычно используются резисторы, изготовленные из металлов — термометры сопротивления, имеющие положительный температурный коэффициент сопротивления, или полупроводниковые — терморезисторы с отрицательным температурным коэффициентом сопротивления.

    Косвенно через измерение температуры также производится измерение теплопроводности, теплоёмкости, скорости потоков газов и жидкостей в термоанемометрах и измерение иных неэлектрических величин, связанных с температурой, например, концентрации компонента в газовой смеси с помощью термокаталитических датчиков и датчиков теплопроводности в газовой хроматографии.

    Измерение потоков излучения

    В фотометрах применяются датчики, изменяющие своё сопротивление в зависимости от освещенности — фоторезисторы. Также существуют резистивные датчики для измерения потоков ионизирующих излучений.

    Модификации

    Используя мост Уитстона, можно с большой точностью измерять сопротивление.

    Различные модификации моста Уитстона позволяют измерять другие физические величины:

    • ёмкость;
    • индуктивность;
    • импеданс;
    • концентрацию газов;
    • и другое.

    Прибор explosimeter (англ.) позволяет определить, превышена ли допустимая концентрация горючих газов в воздухе.

    Мост Кельвина (англ. Kelvin bridge), также известный как мост Томсона (англ. Thomson bridge), позволяет измерять малые сопротивления, изобретён Томсоном.

    Прибор Максвелла позволяет измерять силу переменного тока, изобретён Максвеллом в 1865 году, усовершенствован Блюмлейном около 1926 года.

    Мост Максвелла (англ. Maxwell bridge) позволяет измерять индуктивность.

    Мост Фостера (англ. Carey Foster bridge) позволяет измерять малые сопротивления, описан Фостером (англ. Carey Foster) в документе, опубликованном в 1872 году.

    Делитель напряжения Кельвина-Варли (англ. Kelvin–Varley divider) построен на основе моста Уитстона.

    Промышленные образцы

    В СССР и России Краснодарским заводом измерительных приборов выпускались следующие марки измерительных мостов с ручной наводкой на равновесие:

    • ММВ (измерения сопротивления проводников постоянному току);
    • Р333 (измерение по схеме одинарного моста, определение места повреждения кабеля по схемам петли Муррея и Варлея);
    • МО-62.


    Имя:*
    E-Mail:
    Комментарий: