Zitterbewegung

09.04.2022

Zitterbewegung (нем. Zitterbewegung — «дрожащее движение») — быстрое осциллирующее движение элементарной частицы, подчиняющейся уравнению Дирака (в частности, электрона). Существование такого движения было впервые отмечено Шрёдингером в 1930 году, который проанализировал решение уравнения Дирака для релятивистского свободного электрона, имеющее вид волнового пакета, в котором интерференция между состояниями c положительной и отрицательной энергиями приводит к колебаниям (на скорости света) электрона вокруг его среднего положения с круговой частотой 2 m c 2 / ℏ {displaystyle 2mc^{2}/hbar } , или приблизительно 1,6⋅1021 Гц.

Вывод выражения, описывающего Zitterbewegung

Движение свободного релятивистского электрона можно описать уравнением Шрёдингера

H ψ ( x , t ) = i ℏ ∂ ψ ∂ t ( x , t ) {displaystyle Hpsi (mathbf {x} ,t)=ihbar {frac {partial psi }{partial t}}(mathbf {x} ,t)}

где

H = α 0 m c 2 + ∑ j = 1 3 α j p j c {displaystyle H=alpha _{0}mc^{2}+sum _{j=1}^{3}alpha _{j}p_{j},c}

— гамильтониан Дирака.

Тогда для описания зависимости любого оператора Q от времени справедливо:

− i ℏ ∂ Q ( t ) ∂ t = [ H , Q ] . {displaystyle -ihbar {frac {partial Q(t)}{partial t}}=left[H,Q ight],!;.}

В частности, для производной по времени от оператора координаты x k ( t ) {displaystyle x_{k}(t)}

ℏ ∂ x k ( t ) ∂ t = i [ H , x k ] = α k . {displaystyle hbar {frac {partial x_{k}(t)}{partial t}}=ileft[H,x_{k} ight]=alpha _{k},!;.}

Полученное уравнение показывает, что оператор α k {displaystyle alpha _{k}} можно интерпретировать как k-ю компоненту оператора скорости.

Зависимость этого оператора от времени описывается, в свою очередь, выражением

ℏ ∂ α k ( t ) ∂ t = i [ H , α k ] = 2 i p k − 2 i α k H . {displaystyle hbar {frac {partial alpha _{k}(t)}{partial t}}=ileft[H,alpha _{k} ight]=2ip_{k}-2ialpha _{k}H,!;.}

Поскольку p k {displaystyle p_{k}} , и H {displaystyle H} не зависят от времени, вышеприведённое уравнение можно дважды проинтегрировать по t {displaystyle t} , получив следующую зависимость оператора координаты от времени:

x k ( t ) = x k ( 0 ) + c 2 p k H − 1 t + 1 2 i ℏ c H − 1 ( α k ( 0 ) − c p k H − 1 ) ( e − 2 i H t / ℏ − 1 ) . {displaystyle x_{k}(t)=x_{k}(0)+c^{2}p_{k}H^{-1}t+{1 over 2}ihbar cH^{-1}(alpha _{k}(0)-cp_{k}H^{-1})(e^{-2iHt/hbar }-1).}

В получившееся выражение входит начальное положение, пропорциональное времени движение и дополнительный член, соответствующий осцилляциям с амплитудой, равной комптоновской длине волны. Это осциллирующее слагаемое — так называемый «Zitterbewegung».

Заметим, что это слагаемое исчезает, если допустить, что волновой пакет состоит из волн только с положительной энергией. Таким образом, «Zitterbewegung» можно интерпретировать как результат интерференции между компонентами волны с положительной и отрицательной энергиями.

Есть и точка зрения, что уравнение Дирака в этом случае нельзя, подобно уравнению Шредингера, рассматривать как обычное квантовомеханическое описание одной частицы. Движение заряда со скоростью света описывается уравнением Дирака как очень сложное возбужденное состояние с фазовыми взаимосвязями между частицами и античастицами.

Опытное подтверждение

В 2009 году учёные экспериментально наблюдали явление Zitterbewegung, подтвердив предсказание Шрёдингера.



Имя:*
E-Mail:
Комментарий: