Равномерное распределение
Равномерное распределение вероятностей — общее название класса распределений вероятностей, возникающего при распространении идеи «равновозможности исходов» на непрерывный случай. Подобно нормальному распределению равномерное распределение появляется в теории вероятностей как точное распределение в одних задачах и как предельное — в других.
Понятие равномерного распределения первоначально появилось для дискретного множества значений случайной величины, где это понятие интуитивно наиболее просто воспринимается и означает, что каждое из этих значений реализуется с одинаковой вероятностью. Для абсолютно непрерывной случайной величины условие равной вероятности заменяется условием постоянства функции плотности. В одномерном случае это означает, что вероятность попадания случайной величины в любой допустимый промежуток фиксированной длины одна и та же и зависит только от его длины. В результате дальнейшего обобщения понятие равномерного распределения было перенесено на многомерные распределения, а также распределения, заданные в общем виде как вероятностная мера.
Определение
Пусть ( Ω , F , μ ) {displaystyle (Omega ,;{mathcal {F}},;mu )} — пространство с мерой, где Ω {displaystyle Omega } — множество, F {displaystyle {mathcal {F}}} — сигма-алгебра подмножеств Ω {displaystyle Omega } и μ {displaystyle mu } — конечная мера на F {displaystyle {mathcal {F}}} . Тогда равномерным распределением на множестве Ω {displaystyle Omega } относительно меры μ {displaystyle mu } называется вероятностная мера P {displaystyle P} , удовлетворяющая равенству
P ( A ) = μ ( A ) μ ( Ω ) , {displaystyle P(A)={frac {mu (A)}{mu (Omega )}},} A ∈ F {displaystyle Ain {mathcal {F}}} .Важнейшие частные случаи
Дискретное равномерное распределение
Дискретное равномерное распределение — распределение, в котором случайная величина принимает конечное число значений с равными вероятностями. Множество Ω {displaystyle Omega } (оно должно быть непустым и конечным) в этом случае является перечислимым, и мера μ {displaystyle mu } определена как количество элементов множества (считающая мера).
Непрерывное равномерное распределение
Непрерывное равномерное распределение — распределение случайной величины с постоянной почти всюду на Ω {displaystyle Omega } плотностью вероятности. В этом случае Ω ∈ S n {displaystyle Omega in S^{n}} , где S n {displaystyle S^{n}} — борелевская сигма-алгебра подмножеств R n {displaystyle mathbb {R} ^{n}} ( n {displaystyle n} — натуральное число), F = { A ∈ S n : A ⊆ Ω } {displaystyle {mathcal {F}}={Ain S^{n}:Asubseteq Omega }} и μ {displaystyle mu } — лебегова мера, заданная на ( Ω , F ) {displaystyle (Omega ,;{mathcal {F}})} в пространстве ( R n , S n ) {displaystyle (mathbb {R} ^{n},;S^{n})} .