Функции Стеклова

26.04.2022

Функции Стеклова — функции, введённые русским математиком В. А. Стекловым (в публикации 1907 года) для решения задач, связанных с представлением функций в виде рядов по системам собственных функций задачи Штурма-Лиувилля.

Свойства

• Функция f h ( x ) {displaystyle f_{h}(x)} имеет производную

d d x f h ( x ) = 1 h ( f ( x + h / 2 ) − f ( x − h / 2 ) ) {displaystyle {frac {d}{dx}}f_{h}(x)={frac {1}{h}}{Bigl (}f(x+h/2)-f(x-h/2){Bigr )}}

почти во всех точках отрезка [ a , b ] {displaystyle [a,b]} .

• Если f {displaystyle f} абсолютно непрерывна на всей вещественной оси, то имеют место оценки:

sup x ∈ ( − ∞ , + ∞ ) | f ( x ) − f h ( x ) | ≤ ω f ( h / 2 ) , {displaystyle sup limits _{xin (-infty ,+infty )}|f(x)-f_{h}(x)|leq omega _{f}(h/2),} sup x ∈ ( − ∞ , + ∞ ) | d d x f h ( x ) | ≤ 1 h ω f ( h ) , {displaystyle sup limits _{xin (-infty ,+infty )}{Bigl |}{frac {d}{dx}}f_{h}(x){Bigr |}leq {frac {1}{h}}omega _{f}(h),}

где ω f ( ⋅ ) {displaystyle omega _{f}(cdot )} — модуль непрерывности функции f {displaystyle f} .

• Если f ∈ L p ( − ∞ , + ∞ ) , {displaystyle fin L^{p}(-infty ,+infty ),} то аналогичные неравенства имеют место в норме этого пространства.