Обобщённые интегралы Френеля
Обобщённые интегралы Френеля (интегралы Бёмера) — специальные функции, обобщающие интегралы Френеля. Введены Петером Бёмером в 1939 году.
Обобщённый косинус Френеля:
C ( x , y ) = ∫ x ∞ t y − 1 cos ( t ) d t {displaystyle operatorname {C} (x,y)=int _{x}^{infty }t^{y-1}cos(t),dt}Обобщённый синус Френеля:
S ( x , y ) = ∫ x ∞ t y − 1 sin ( t ) d t {displaystyle operatorname {S} (x,y)=int _{x}^{infty }t^{y-1}sin(t),dt}Соответственно, обычные интегралы Френеля выражаются через интегралы Бёмера следующим образом:
S ( y ) = 1 2 − 1 2 π ⋅ S ( y 2 , 1 2 ) {displaystyle operatorname {S} (y)={frac {1}{2}}-{frac {1}{sqrt {2pi }}}cdot operatorname {S} left(y^{2},{frac {1}{2}} ight)} C ( y ) = 1 2 − 1 2 π ⋅ C ( y 2 , 1 2 ) {displaystyle operatorname {C} (y)={frac {1}{2}}-{frac {1}{sqrt {2pi }}}cdot operatorname {C} left(y^{2},{frac {1}{2}} ight)}Также через обобщённые интегралы Френеля можно выразить интегральный синус и интегральный косинус:
Si ( x ) = π 2 − S ( x , 0 ) {displaystyle operatorname {Si} (x)={frac {pi }{2}}-operatorname {S} (x,0)} Ci ( x ) = π 2 − C ( x , 0 ) {displaystyle operatorname {Ci} (x)={frac {pi }{2}}-operatorname {C} (x,0)}