Обобщённые интегралы Френеля

08.02.2021

Обобщённые интегралы Френеля (интегралы Бёмера) — специальные функции, обобщающие интегралы Френеля. Введены Петером Бёмером в 1939 году.

Обобщённый косинус Френеля:

C ⁡ ( x , y ) = ∫ x ∞ t y − 1 cos ⁡ ( t ) d t {displaystyle operatorname {C} (x,y)=int _{x}^{infty }t^{y-1}cos(t),dt}

Обобщённый синус Френеля:

S ⁡ ( x , y ) = ∫ x ∞ t y − 1 sin ⁡ ( t ) d t {displaystyle operatorname {S} (x,y)=int _{x}^{infty }t^{y-1}sin(t),dt}

Соответственно, обычные интегралы Френеля выражаются через интегралы Бёмера следующим образом:

S ⁡ ( y ) = 1 2 − 1 2 π ⋅ S ⁡ ( y 2 , 1 2 ) {displaystyle operatorname {S} (y)={frac {1}{2}}-{frac {1}{sqrt {2pi }}}cdot operatorname {S} left(y^{2},{frac {1}{2}} ight)} C ⁡ ( y ) = 1 2 − 1 2 π ⋅ C ⁡ ( y 2 , 1 2 ) {displaystyle operatorname {C} (y)={frac {1}{2}}-{frac {1}{sqrt {2pi }}}cdot operatorname {C} left(y^{2},{frac {1}{2}} ight)}

Также через обобщённые интегралы Френеля можно выразить интегральный синус и интегральный косинус:

Si ⁡ ( x ) = π 2 − S ⁡ ( x , 0 ) {displaystyle operatorname {Si} (x)={frac {pi }{2}}-operatorname {S} (x,0)} Ci ⁡ ( x ) = π 2 − C ⁡ ( x , 0 ) {displaystyle operatorname {Ci} (x)={frac {pi }{2}}-operatorname {C} (x,0)}