Гипотеза Визинга

24.05.2022

Гипотеза Визинга — предположение о связи доминирующего множества и прямого произведения графов, не подтверждённое по состоянию на 2017 год, при этом гипотеза доказана для ряда частных случаев.

Впервые была высказана Вадимом Визингом. Утверждение гипотезы гласит, что для γ ( G ) {displaystyle gamma (G)} — минимального числа вершин в доминирующем множестве графа G {displaystyle G} , выполнено:

γ ( G ◻ H ) ⩾ γ ( G ) γ ( H ) {displaystyle gamma (G,square ,H)geqslant gamma (G),gamma (H)} .

В 1995 году предположены аналогичные границы для доминирующего числа тензорного произведения графов, однако позже найден контрпример.

Примеры

Доминирующее число цикла с 4 вершинами C4 равно двум — любая отдельная вершина доминирует над собой и двумя соседями, но любая пара доминирует над полным графом. Произведение C4 ◻ C4 является графом четырёхмерного гиперкуба. Он имеет 16 вершин, и любая отдельная вершина доминирует над собой и четырьмя соседями, так что три вершины могут доминировать только над 15 из 16 вершин. Таким образом, по меньшей мере четыре вершины должны содержаться в доминирующем множестве графа, как раз то число, которое даёт гипотеза Визинга.

Доминирующее число произведения может быть существенно больше границы, данной в гипотезе Визинга. Например, для звезды K1,n доминирующее число γ(K1,n) равно единице — всего одна центральная вершина доминирует над всем графом. Для графа G = K1,n ◻ K1,n, образованного произведение двух звёзд, гипотеза Визинга утверждает, что доминирующее число не меньше 1 × 1 = 1. Однако, на самом деле, доминирующее множество много больше. Граф содержит n2 + 2n + 1 вершин — n2 получаем из листьев двух сомножителей, 2n получаем из произведения листьев на центр, и одна вершина получается произведением центров. Каждое произведение листа на центр доминирует в точности над n лист-лист вершинами произведения, так что n лист-центр вершин нужно для доминирования над всеми лист-лист вершинами. Однако, ни одна вершина лист-центр не доминирует над такой же другой вершиной, так что даже в случае выбора n вершин лист-центр в доминирующее множество, остаётся n недоминируемых лист-центр вершин, которые доминируются одной центр-центр вершиной. Таким образом, доминирующее число этого графа равно γ(K1,n ◻ K1,n) = n + 1, что много больше тривиальной границы, которую даёт гипотеза Визинга.

Существует бесконечное число семейство произведений графов, для которых оценка в гипотезе Визинга точна. Например, если G и H оба являются связными графами и каждый имеет по меньшей мере четыре вершины и число вершин в точности вдвое больше доминирующего числа, то γ(GH) = γ(G)γ(H). Графы G и H с таким свойством содержат цикл C4 с четырьмя вершинами вместе с корневым произведением связного графа и одиночного ребра.

Частичные результаты

Ясно, что гипотеза выполняется, когда либо G, либо H имеет доминирующее число 1 — произведение содержит изоморфную копию второго, так что его доминирующее множество имеет по меньшей мере γ(G)γ(H) вершин.

Известно, что гипотеза Визинга выполняется для циклов и для графов с доминирующим числом два.

В 2000 году доказано, что доминирующее число произведения по меньшей мере равно половине границы, указанной в гипотезе, для всех G и H.

Верхние границы

Визинг в оригинальной статье заметил, что:

γ(GH) ≤ min{γ(G)|V(H)|, γ(H)|V(G)|}.

Доминирующее множество, достигающее эту границу, можно получить как прямое произведение доминирующих множеств одного из графов G или H с множеством всех вершин другого графа.



Имя:*
E-Mail:
Комментарий: