Радиус-вектор

04.06.2022

Радиус-вектор (обозначается буквой r {displaystyle r} со стрелкой: r → {displaystyle {vec {r}}} или набираемой жирным шрифтом: r {displaystyle mathbf {r} } ) — вектор, задающий положение точки в пространстве (например, евклидовом) относительно некоторой заранее фиксированной точки, называемой началом координат. Понятие используется в математике (геометрии) и физике.

Радиус-вектор в геометрии

Для произвольной точки в пространстве радиус-вектор — это вектор, идущий из начала координат в эту точку.

Длина, или модуль радиус-вектора — расстояние, на котором точка находится от начала координат, стрелка вектора — указывает направление на эту точку пространства.

На плоскости углом радиус-вектора называется угол, на который радиус-вектор повёрнут относительно оси абсцисс в направлении против часовой стрелки.

Запись в различных системах координат

Двумерное пространство

  • Декартовы координаты: r → = x e → x + y e → y {displaystyle quad {vec {r}}=x{vec {e}}_{x}+y{vec {e}}_{y}}
  • Полярные координаты: r → = ρ e → ρ {displaystyle quad {vec {r}}= ho {vec {e}}_{ ho }}

Трёхмерное пространство

  • Декартовы координаты: r → = x e → x + y e → y + z e → z {displaystyle quad {vec {r}}=x{vec {e}}_{x}+y{vec {e}}_{y}+z{vec {e}}_{z}}
  • Цилиндрические координаты: r → = ρ e → ρ + z e → z {displaystyle quad {vec {r}}= ho {vec {e}}_{ ho }+z{vec {e}}_{z}}
  • Сферические координаты: r → = ρ e → ρ {displaystyle quad {vec {r}}= ho {vec {e}}_{ ho }}

n-мерное пространство

  • Декартовы координаты: r → = x 1 e → 1 + x 2 e → 2 + . . . + x n e → n {displaystyle quad {vec {r}}=x_{1}{vec {e}}_{1}+x_{2}{vec {e}}_{2}+...+x_{n}{vec {e}}_{n}}

Радиус-вектор в кинематике

В кинематике изменение радиус-вектора со временем, то есть функция r → ( t ) {displaystyle {vec {r}}(t)} , определяет движение материальной точки. Если указанная функция известна, на её основе могут быть вычислены скорость и ускорение:

v → ( t ) = d r → ( t ) d t = r → ˙ ( t ) {displaystyle {vec {v}}(t)={frac {{mbox{d}}{vec {r}}(t)}{{mbox{d}}t}}={dot {vec {r}}}(t)} a → ( t ) = d 2 r → ( t ) d t 2 = r → ¨ ( t ) {displaystyle {vec {a}}(t)={frac {{mbox{d}}^{2}{vec {r}}(t)}{{mbox{d}}t^{2}}}={ddot {vec {r}}}(t)} ,

где точка сверху обозначает дифференцирование по времени, а две точки — двукратное дифференцирование.

В таком виде запись применима к системе координат любого типа. Но переход к трём координатам декартовой, цилиндрической и сферической систем осуществляется по-разному. Например, если для декартовых координат v → = x ˙ e → x + y ˙ e → y + z ˙ e → z {displaystyle {vec {v}}={dot {x}}{vec {e}}_{x}+{dot {y}}{vec {e}}_{y}+{dot {z}}{vec {e}}_{z}} , то для цилиндрической системы имеем не v → = ρ ˙ e → ρ + φ ˙ e → φ + z ˙ e → z {displaystyle {vec {v}}={dot { ho }}{vec {e}}_{ ho }+{dot {varphi }}{vec {e}}_{varphi }+{dot {z}}{vec {e}}_{z}} , а выражение: v → = ρ ˙ e → ρ + ρ φ ˙ e → φ + z ˙ e → z {displaystyle {vec {v}}={dot { ho }}{vec {e}}_{ ho }+ ho {dot {varphi }}{vec {e}}_{varphi }+{dot {z}}{vec {e}}_{z}} ; ускорение в последнем случае: a → = ( ρ ¨ − ρ φ ˙ 2 ) e → ρ + ( 2 ρ ˙ φ ˙ + ρ φ ¨ ) e → φ + z ¨ e → z {displaystyle {vec {a}}=({ddot { ho }}- ho {dot {varphi }}^{2}){vec {e}}_{ ho }+(2{dot { ho }}{dot {varphi }}+ ho {ddot {varphi }}){vec {e}}_{varphi }+{ddot {z}}{vec {e}}_{z}} .



Имя:*
E-Mail:
Комментарий: