Метод площадей

16.08.2022

Метод площадей — метод решения геометрических тождеств путём подсчёта площадей фигур разными способами.

Методом площадей также доказываются теорема Пифагора, теорема о биссектрисе, теорема Чевы и многие другие.

Пример: Доказательство Евклида теоремы Пифагора

Классическое доказательство Евклида направлено на установление равенства площадей между прямоугольниками, образованными из рассечения квадрата над гипотенузой высотой из прямого угла, с квадратами над катетами.

Конструкция, используемая для доказательства, следующая: для прямоугольного треугольника △ A B C {displaystyle riangle ABC} с прямым углом C {displaystyle C} , квадратов над катетами A C E D {displaystyle ACED} и B C F G {displaystyle BCFG} и квадрата над гипотенузой A B I K {displaystyle ABIK} строится высота C H {displaystyle CH} и продолжающий её луч s {displaystyle s} , разбивающий квадрат над гипотенузой на два прямоугольника — A H J K {displaystyle AHJK} и B H J I {displaystyle BHJI} . Доказательство нацелено на установление равенства между площадями прямоугольника A H J K {displaystyle AHJK} и квадрата над катетом A C {displaystyle AC} ; равенство площадей второго прямоугольника, составляющего квадрат над гипотенузой, и прямоугольника над другим катетом устанавливается аналогичным образом.

Равенство площадей прямоугольника A H J K {displaystyle AHJK} и A C E D {displaystyle ACED} устанавливается через конгруэнтность треугольников △ A C K {displaystyle riangle ACK} и △ A B D {displaystyle riangle ABD} , площадь каждого из которых равна половине площади квадратов A H J K {displaystyle AHJK} и A C E D {displaystyle ACED} соответственно в связи со следующим свойством: площадь треугольника равна половине площади прямоугольника, если у фигур есть общая сторона, а высота треугольника к общей стороне является другой стороной прямоугольника. Конгруэнтность треугольников следует из равенства двух сторон (стороны квадратов) и углу между ними (составленного из прямой угла и угла при A {displaystyle A} ).

Таким образом, доказательством устанавливается, что площадь квадрата, построенного на гипотенузе, составленного из прямоугольников A H J K {displaystyle AHJK} и B H J I {displaystyle BHJI} , равна сумме площадей квадратов над катетами.



Имя:*
E-Mail:
Комментарий: