Регулярные тепловые режимы
Для того чтобы ввести понятие регулярного теплового режима, рассмотрим процесс охлаждения (нагрева) в среде с постоянной температурой произвольного по форме однородного и изотропного тела, начальное распределение температур в котором в начальный момент времени τ = 0 задано известной функцией координат f(x, y, z,0)=T0. В целях упрощения записи будем, не уменьшая общности, считать температуру окружающей среды Tf = const. Уравнение теплопроводности в безразмерных переменных записывается как:
∂ Θ ∂ F o = ∇ 2 Θ {displaystyle {partial Theta over partial Fo}= abla ^{2}Theta } , где- Θ = T − T f T 0 − T f {displaystyle {mathit {Theta }}={frac {T-T_{f}}{T_{0}-T_{f}}}} — безразмерная температура
- T = текущая температура тела
- Tf = температура среды
- T0 = начальная температура тела
- Fo = Число Фурье
Решением данного уравнения при изложенных выше условиях является ряд вида:
∑ n = 1 ∞ A n ϕ n e x p ( − m n F o ) {displaystyle sum _{n=1}^{infty }A_{n}phi _{n}exp(-m_{n}Fo)} ,где ϕ n = ϕ n ( x ¯ , y ¯ , z ¯ , B i ) {displaystyle phi _{n}=phi _{n}({overline {x}},{overline {y}},{overline {z}},Bi)} (где Bi — число Био), а A n {displaystyle A_{n}} зависит от начальных условий. Рассматривая поведение данного ряда с течением времени (то есть с ростом Fo), приходим к выводу, что члены m 1 , m 2 . . . m n {displaystyle m_{1},m_{2}...m_{n}} убывают во времени, причём с неодинаковой скоростью. Члены высших порядков убывают быстрее и через некоторое время становятся пренебрежимо малы. Поэтому температура в любой точке тела задолго до достижения им температуры окружающей среды будет определяться, по существу, первым членом ряда, то есть следовать простому экспоненциальному закону:
Θ = A 1 ϕ e x p ( − m 1 F o ) {displaystyle Theta =A_{1}phi exp(-m_{1}Fo)} .Момент, когда изменение температуры всех точек тела можно считать следующим этому простому закону, называют началом регулярного, то есть упорядоченного режима. В зависимости от характера изменения температуры окружающей среды Tf во времени различают регулярные режимы трёх родов.
Регулярный режим первого рода
Рассмотренное выше условие Tf=const определяет регулярный режим первого рода. Признак регуляризации режима 1-го рода состоит в том, что изменение температуры в каждой точке системы происходит по экспоненте, одинаковой для всех точек:
T − T f = C 1 ν e x p ( − m τ ) {displaystyle T-T_{f}=C_{1} u exp(-m au )} , C 1 = c o n s t {displaystyle C_{1}=const} , ν = ν ( x , y , z ) {displaystyle u = u (x,y,z)} ,где m — темп нагрева, который для малых чисел Био (Bi<<1) определяется как:
m = − ∂ l n ( T − T f ) ∂ τ = − α F ρ c V {displaystyle m=-{partial ln(T-T_{f}) over partial au }=-{frac {alpha F}{ ho cV}}} , где- F — площадь поверхности тела
- α — коэффициент теплоотдачи
- ρ — плотность тела
- c — теплоёмкость тела.
Для произвольных Bi вводится коэффициент неравномерности температурного поля ψ, который можно определить как отношение средней по поверхности безразмерной температуры к средней безразмерной температуре по объёму. В предельном случае, когда число Био стремится к бесконечности, ψ=0 Тогда выражение для темпа нагрева принимает вид:
m = − ∂ l n ( T − T f ) ∂ τ = − ψ α F ρ c V {displaystyle m=-{partial ln(T-T_{f}) over partial au }=-psi {frac {alpha F}{ ho cV}}} .Регулярный режим второго рода
Наступает, когда скорость изменения температуры становится, во-первых, постоянной, общей для всех точек тела, и, во-вторых, равной скорости изменения температуры внешней среды:
∂ T ∂ τ = ∂ T f ∂ τ = b {displaystyle {partial T over partial au }={partial T_{f} over partial au }=b}Регулярный режим третьего рода
Регулярный режим третьего рода реализуется в случае гармонических колебаний температуры среды около некоторой средней температуры.
T f = T f 0 + A c o s ( ω τ ) {displaystyle T_{f}=T_{f0}+Acos(omega au )}Температура любой точки тела колеблется около своего среднего значения с тем же периодом, что и температура окружающей среды, то есть с периодом, одинаковым для всех точек тела:
T = P s i n ( ω τ ) + Q c o s ( ω τ ) = T 0 + B c o s ( ω τ − ϕ ) {displaystyle T=Psin(omega au )+Qcos(omega au )=T_{0}+Bcos(omega au -phi )}где φ, T0, P, Q, B — функции координат. (Эти колебания происходят с иной амплитудой, а также могут быть смещены по фазе по сравнению с колебаниями температуры окружающей среды.)