Символ Гильберта

30.08.2022

Символ Гильберта, или символ норменного вычета, — функция двух аргументов из K × × K × {displaystyle K^{ imes } imes K^{ imes }} в группу корней n {displaystyle n} -й степени из единицы в локальном поле K {displaystyle K} (например в поле действительных чисел или в поле p-адических чисел. Он связан с законами взаимности, и может быть определён через символ Артина локальной теории полей классов. Символ Гильберта был введён в его Zahlbericht, с небольшим отличием, что он определял его скорее для элементов глобальных полей, чем для более крупных локальных полей.

Символ Гильберта обобщается на высшие локальные поля.

Квадратичный символ Гильберта

Пусть K {displaystyle K} — локальное поле, а K × {displaystyle K^{ imes }} — его мультипликативная группа ненулевых элементов. Квадратичный символ Гильберта над K {displaystyle K} — это функция ( a , b ) {displaystyle (a,b)} из K × × K × {displaystyle K^{ imes } imes K^{ imes }} в { − 1 ; 1 } {displaystyle {-1;1}} , определённая как

( a , b ) = { 1 ,  если  z 2 = a x 2 + b y 2  имеет ненулевое решение  ( x , y , z ) ∈ K 3 ; − 1 ,  в противном случае. {displaystyle (a,b)={egin{cases}1,&{mbox{ если }}z^{2}=ax^{2}+by^{2}{mbox{ имеет ненулевое решение }}(x,y,z)in K^{3};-1,&{mbox{ в противном случае.}}end{cases}}}

Свойства

Следующие три свойства прямо следуют из определения с помощью выбора подходящего решения для диофантова уравнения, указанного в определении, и выполняются для любого локального поля K {displaystyle K} :

  • ( a 2 , b ) = 1 {displaystyle (a^{2},b)=1} для любых a , b {displaystyle a,b} .
  • ( a , b ) = ( b , a ) {displaystyle (a,b)=(b,a)} для любых a , b {displaystyle a,b} .
  • Для любого a ∈ K × {displaystyle ain K^{ imes }} , такого что a − 1 ∈ K × {displaystyle a-1in K^{ imes }} , верно, что ( a , 1 − a ) = 1 {displaystyle (a,1-a)=1}

Бимультипликативность, то есть

( a , b 1 b 2 ) = ( a , b 1 ) ⋅ ( a , b 2 ) {displaystyle (a,b_{1}b_{2})=(a,b_{1})cdot (a,b_{2})}

для любых a , b 1 , b 2 ∈ K × {displaystyle a,b_{1},b_{2}in K^{ imes }} . Это свойство является более трудным для доказательства и требует разработки локальной теории полей классов.

Третье свойство показывает, что символ Гильберта является примером символа Штейнберга и, таким образом, factors над второй K-группе Милнора K 2 M ( K ) {displaystyle K_{2}^{M}(K)} , которая определяется как

K × ⊗ K × / ( a ⊗ ( 1 − a ) , a ∈ K ∖ { 0 ; 1 } ) {displaystyle K^{ imes }otimes K^{ imes }/(aotimes (1-a),ain Ksetminus {0;1})}

По первому свойству он even factors над K 2 M ( K ) / 2 {displaystyle K_{2}^{M}(K)/2} . Это первый шаг в направлении к гипотезе Милнора.

Интерпретация как алгебры

Символ Гильберта может быть также использован для обозначения центральной простой алгебры над K {displaystyle K} с базисом 1 , i , j , k {displaystyle 1,i,j,k} и правилами умножения i 2 = a {displaystyle i^{2}=a} , j 2 = b {displaystyle j^{2}=b} , i j = − j i = k {displaystyle ij=-ji=k} .

Символы Гильберта над рациональными числами

Для точки (англ. place) v {displaystyle v} из поля рациональных чисел и рациональных чисел a , b {displaystyle a,b} обозначим ( a , b ) v {displaystyle (a,b)_{v}} символ Гильберта в соответствующем пополнении Q v {displaystyle mathbb {Q} _{v}} . Как обычно, если v {displaystyle v} это показатель, связанный с простым числом p {displaystyle p} , то соответствующее пополнение является полем p {displaystyle p} -адических чисел, а если v {displaystyle v} является бесконечной точкой, то пополнение является полем действительных чисел.

В поле действительных чисел, ( a , b ) ∞ = + 1 {displaystyle (a,b)_{infty }=+1} тогда и только тогда, когда a > 0 {displaystyle a>0} или b > 0 {displaystyle b>0} , и ( a , b ) ∞ = − 1 {displaystyle (a,b)_{infty }=-1} , если оба a , b < 0 {displaystyle a,b<0} .

Над p {displaystyle p} -адическими числами с нечётным p {displaystyle p} положим a = p α u {displaystyle a=p^{alpha }u} и b = p β v {displaystyle b=p^{eta }v} , где u , v {displaystyle u,v} — целые числа, взаимно простые с p {displaystyle p} , тогда мы получим

( a , b ) p = ( − 1 ) α β ϵ ( p ) ( u p ) β ( v p ) α {displaystyle (a,b)_{p}=(-1)^{alpha eta epsilon (p)}left({frac {u}{p}} ight)^{eta }left({frac {v}{p}} ight)^{alpha }} , где ϵ ( p ) = ( p − 1 ) / 2 {displaystyle epsilon (p)=(p-1)/2}

а ( u p ) , ( v p ) {displaystyle left({frac {u}{p}} ight),left({frac {v}{p}} ight)} — символы Лежандра.

Над 2 {displaystyle 2} -адическими числами положим a = 2 α u {displaystyle a=2^{alpha }u} и b = 2 β v {displaystyle b=2^{eta }v} , где u , v {displaystyle u,v} — нечётные числа, тогда мы получим

( a , b ) 2 = ( − 1 ) ϵ ( u ) ϵ ( v ) + α ω ( v ) + β ω ( u ) {displaystyle (a,b)_{2}=(-1)^{epsilon (u)epsilon (v)+alpha omega (v)+eta omega (u)}} , where ω ( x ) = ( x 2 − 1 ) / 8. {displaystyle omega (x)=(x^{2}-1)/8.}

Известно, что если v {displaystyle v} пробегает все точки (англ. place), ( a , b ) v = 1 {displaystyle (a,b)_{v}=1} для почти всех точек. Следовательно, следующая формула с бесконечным произведением

∏ v ( a , b ) v = 1 {displaystyle prod _{v}(a,b)_{v}=1}

имеет смысл. Эта формула эквивалентна квадратичному закону взаимности.

Радикал Капланского

Символ Гильберта на поле F {displaystyle F} определяется как отображение

( ⋅ , ⋅ ) : F × / ( F × ) 2 × F × / ( F × ) 2 → B r ⁡ ( F ) {displaystyle (cdot ,cdot ):F^{ imes }/(F^{ imes })^{2} imes F^{ imes }/(F^{ imes })^{2} ightarrow mathop {Br} (F)}

где B r ⁡ ( F ) {displaystyle mathop {Br} (F)} — группа Брауэра поля F {displaystyle F} . Ядро этого отображения — множество всех элементов a {displaystyle a} таких, что ( a , b ) = 1 {displaystyle (a,b)=1} для всех b {displaystyle b} — это радикал Капланского поля F {displaystyle F} .

Радикал является подгруппой F × / ( F × ) 2 {displaystyle F^{ imes }/(F^{ imes })^{2}} , отождествляемой с подгруппой of F × {displaystyle F^{ imes }} . Радикал содержит группу, равную F × {displaystyle F^{ imes }} если и только если F {displaystyle F} не является формально вещественным и имеет u-инвариант не более 2. С другой стороны, поле с радикалом ( F × ) 2 {displaystyle (F^{ imes })^{2}} называется полем Гильберта.

Символ Гильберта в общем случае

Если K {displaystyle K} локальное поле, содержащее группу корней n {displaystyle n} -й степени из единицы U n {displaystyle U_{n}} для некоторого n {displaystyle n} , взаимно простого с характеристикой K {displaystyle K} , то символ Гильберта — это функция из K × × K × {displaystyle K^{ imes } imes K^{ imes }} в U n {displaystyle U_{n}} . Его можно выразить через символ Артина как

( a , b ) b n = ( a , K ( b n ) / K ) b n {displaystyle (a,b){sqrt[{n}]{b}}=(a,K({sqrt[{n}]{b}})/K){sqrt[{n}]{b}}}

Свойства

Символ Гильберта мультипликативен по обеим аргументам (билинеен):

( a b , c ) = ( a , c ) ( b , c ) {displaystyle (ab,c)=(a,c)(b,c)} ( a , b c ) = ( a , b ) ( a , c ) {displaystyle (a,bc)=(a,b)(a,c)}

кососимметричен:

( a , b ) = ( b , a ) − 1 {displaystyle (a,b)=(b,a)^{-1}}

невырожден:

( a , b ) = 1 {displaystyle (a,b)=1} для всех b {displaystyle b} тогда и только тогда, когда a ∈ ( K × ) n {displaystyle ain (K^{ imes })^{n}}

Он замечает норму (поэтому и называется символ норменного вычета):

( a , b ) = 1 {displaystyle (a,b)=1} тогда и только тогда, когда a {displaystyle a} — норма элемента из K ( b n ) {displaystyle K({sqrt[{n}]{b}})}

Он обладает свойствами символа Штейнберга:

( a , 1 − a ) = 1 ; ( a , − a ) = 1. {displaystyle (a,1-a)=1;(a,-a)=1.}

Закон взаимности Гильберта

Закон взаимности Гильберта утверждает, что если a , b {displaystyle a,b} лежат в поле алгебраических чисел, которое содержит корни n {displaystyle n} -й степени из единицы, то

∏ p ( a , b ) p = 1 {displaystyle prod _{p}(a,b)_{p}=1}

где p {displaystyle p} пробегает конечные и бесконечные простые числового поля, а ( a , b ) p {displaystyle (a,b)_{p}} — это символ Гильберта в пополнении по p {displaystyle p} . Закон взаимности Гильберта следует из закона взаимности Артина и определения символа Гильберта через символ Артина.

Символ степенного вычета

Если K {displaystyle K} — числовое поле, содержащее корни n {displaystyle n} -й степени из единицы, p {displaystyle p} — простой идеал, не делящий n {displaystyle n} , π {displaystyle pi } — простой элемент локального поля от p {displaystyle p} , а a {displaystyle a} взаимно просто с p {displaystyle p} , то символ степенного вычета ( a p ) {displaystyle {inom {a}{p}}} , связанный с символом Гильберта соотношением

( a p ) = ( π , a ) p {displaystyle {inom {a}{p}}=(pi ,a)_{p}}

Символ степенного вычета расширяется до дробных идеалов по мультипликативности и определяется для элементов поля чисел, полагая ( a b ) = ( a ( b ) ) {displaystyle {inom {a}{b}}={inom {a}{(b)}}} , где ( b ) {displaystyle (b)} — главный идеал, порождённый b {displaystyle b} . Закон взаимности Гильберта влечёт следующий закон взаимности для символа степенного вычета: для взаимно простых a , b {displaystyle a,b} друг к другу и к n {displaystyle n} :

( a b ) = ( b a ) ∏ p | n , ∞ ( a , b ) p {displaystyle {inom {a}{b}}={inom {b}{a}}prod _{p|n,infty }(a,b)_{p}}

Имя:*
E-Mail:
Комментарий: