Мультипликативная функция

В теории чисел мультипликативная функция ― арифметическая функция f ( m ) {displaystyle f(m)} , такая что

f ( m 1 m 2 ) = f ( m 1 ) f ( m 2 ) {displaystyle f(m_{1}m_{2})=f(m_{1})f(m_{2})} для любых взаимно простых чисел m 1 {displaystyle m_{1}} и m 2 {displaystyle m_{2}} f ( 1 ) = 1 {displaystyle f(1)=1}

При выполнении первого условия, требование f ( 1 ) = 1 {displaystyle f(1)=1} равносильно тому, что функция f ( m ) {displaystyle f(m)} не равна тождественно нулю.

Следует отметить, что вне теории чисел под мультипликативной функцией понимают любую функцию f {displaystyle f} , определенную на некотором множестве X {displaystyle X} , такую что

f ( x 1 x 2 ) = f ( x 1 ) f ( x 2 ) {displaystyle f(x_{1}x_{2})=f(x_{1})f(x_{2})} для любых x 1 , x 2 ∈ X {displaystyle x_{1},x_{2}in X} .

В теории чисел такие функции, то есть функции f ( m ) {displaystyle f(m)} , для которых условие мультипликативности выполнено для всех натуральных m 1 , m 2 {displaystyle m_{1},m_{2}} , называются вполне мультипликативными.

Мультипликативная функция называется сильно мультипликативной, если

f ( p α ) = f ( p ) {displaystyle f(p^{alpha })=f(p)}

для всех простых p {displaystyle p} и всех натуральных α {displaystyle alpha } .

Функция f {displaystyle f} называется вполне мультипликативной тогда и только тогда, когда для любых натуральных x , y {displaystyle x,y} выполняется соотношение f ( x y ) = f ( x ) f ( y ) {displaystyle f(xy)=f(x)f(y)} .

Примеры

• Функция τ ( m ) {displaystyle au (m)} ― число натуральных делителей натурального m {displaystyle m} .
• Функция σ ( m ) {displaystyle sigma (m)} ― сумма натуральных делителей натурального m {displaystyle m} .
• Функция Эйлера φ ( m ) {displaystyle varphi (m)} .
• Функция Мёбиуса μ ( m ) {displaystyle mu (m)} .
• Функция φ ( m ) m {displaystyle {frac {varphi (m)}{m}}} является сильно мультипликативной.
• Степенная функция f ( m ) = m α {displaystyle f(m)=m^{alpha }} является вполне мультипликативной.

Построение

Из основной теоремы арифметики следует, что можно произвольно задать значения мультипликативной функции f ( n ) {displaystyle f(n)} на простых числах и их степенях, а также определить f ( 1 ) = 1 ; {displaystyle f(1)=1;} все прочие значения полученной функции определяются из свойства мультипликативности.

Произведение любых мультипликативных функций также является мультипликативной функцией.

Если f ( m ) {displaystyle f(m)} — мультипликативная функция, то функция

g ( m ) = ∑ d | m f ( d ) {displaystyle g(m)=sum _{d|m}f(d)}

также будет мультипликативной. Обратно, если функция g ( m ) {displaystyle g(m)} , определенная этим соотношением является мультипликативной, то и исходная функция f ( m ) {displaystyle f(m)} также мультипликативна.

Более того, если f ( m ) {displaystyle f(m)} и g ( m ) {displaystyle g(m)} — мультипликативные функции, то мультипликативной будет и их свертка Дирихле:

h ( m ) = ∑ d | m f ( d ) g ( m d ) {displaystyle h(m)=sum _{d|m}f(d)gleft({frac {m}{d}} ight)}