Лемниската Бута
Лемниската Бута — плоская алгебраическая кривая четвёртого порядка, частный случай кривой Персея. Названа в честь Джеймса Бута.
Уравнение в прямоугольных декартовых координатах:
( x 2 + y 2 ) 2 − ( 2 m 2 + c ) x 2 + ( 2 m 2 − c ) y 2 = 0. {displaystyle (x^{2}+y^{2})^{2}-(2m^{2}+c)x^{2}+(2m^{2}-c)y^{2}=0.}Виды
Форма кривой зависит от соотношения между параметрами m {displaystyle m} и c {displaystyle c} . Если c > 2 m 2 {displaystyle c>2m^{2}} , то уравнение лемнискаты принимает вид
( x 2 + y 2 ) 2 = a 2 x 2 + b 2 y 2 {displaystyle (x^{2}+y^{2})^{2}=a^{2}x^{2}+b^{2}y^{2}} , где a 2 = 2 m 2 + c {displaystyle a^{2}=2m^{2}+c} и b 2 = c − 2 m 2 . {displaystyle b^{2}=c-2m^{2}.}В этом случае лемниската Бута является подерой эллипса относительно его центра и называется эллиптической. Её уравнение в полярных координатах имеет вид
ρ 2 = a 2 cos 2 ϕ + b 2 sin 2 ϕ . {displaystyle ho ^{2}=a^{2}cos ^{2}phi +b^{2}sin ^{2}phi .}Если c < 2 m 2 {displaystyle c<2m^{2}} , то уравнение лемнискаты принимает вид
( x 2 + y 2 ) 2 = a 2 x 2 − b 2 y 2 {displaystyle (x^{2}+y^{2})^{2}=a^{2}x^{2}-b^{2}y^{2}} , где a 2 = 2 m 2 + c {displaystyle a^{2}=2m^{2}+c} и b 2 = 2 m 2 − c . {displaystyle b^{2}=2m^{2}-c.}В этом случае лемниската Бута является подерой гиперболы относительно её центра и называется гиперболической. Её уравнение в полярных координатах имеет вид
ρ 2 = a 2 cos 2 ϕ − b 2 sin 2 ϕ . {displaystyle ho ^{2}=a^{2}cos ^{2}phi -b^{2}sin ^{2}phi .}Частные случаи
- При c = 2 m 2 {displaystyle c=2m^{2}} лемниската Бута вырождается в две окружности x 2 + y 2 ± 2 m x = 0. {displaystyle x^{2}+y^{2}pm 2mx=0.}
- При c = 0 {displaystyle c=0} лемниската Бута вырождается в лемнискату Бернулли.
Свойства
- Лемниската Бута — ортогональная проекция на плоскость xOy линии пересечения поверхности параболоида x 2 + y 2 = c z {displaystyle x^{2}+y^{2}=cz} с поверхностью конуса a 2 x 2 + b 2 y 2 = c 2 z 2 . {displaystyle a^{2}x^{2}+b^{2}y^{2}=c^{2}z^{2}.}
- Лемнискату Бута можно получить инверсией кривой второго порядка a 2 x 2 ± b 2 y 2 = k 4 {displaystyle a^{2}x^{2}pm b^{2}y^{2}=k^{4}} с центром в начале координат.
Площадь
С помощью полярного уравнения лемнискаты можно определить площадь, которую она ограничивает. Для эллиптической лемнискаты:
2 ∫ 0 π 2 ( a 2 cos 2 ϕ + b 2 sin 2 ϕ ) d ϕ = π 2 ( a 2 + b 2 ) . {displaystyle 2int limits _{0}^{frac {pi }{2}}(a^{2}cos ^{2}phi +b^{2}sin ^{2}phi )dphi ={frac {pi }{2}}(a^{2}+b^{2}).}Для гиперболической лемнискаты:
∫ 0 arctg a b ( a 2 cos 2 ϕ − b 2 sin 2 ϕ ) d ϕ = a 2 − b 2 2 arctg a b + a b 2 . {displaystyle int limits _{0}^{operatorname {arctg} {frac {a}{b}}}(a^{2}cos ^{2}phi -b^{2}sin ^{2}phi )dphi ={frac {a^{2}-b^{2}}{2}}operatorname {arctg} {frac {a}{b}}+{frac {ab}{2}}.}