Нормирование (алгебра)

16.11.2022

Нормирование — отображение элементов поля F {displaystyle F} или целостного кольца в некоторое упорядоченное поле P {displaystyle P} x ↦ ‖ x ‖ {displaystyle xmapsto |x|} , обладающее следующими свойствами:

1) ‖ x ‖ ⩾ 0 {displaystyle |x|geqslant 0} и ‖ x ‖ = 0 {displaystyle |x|=0} только при x = 0 {displaystyle x=0} 2) ‖ x y ‖ = ‖ x ‖ ⋅ ‖ y ‖ {displaystyle |xy|=|x|cdot |y|} 3) ‖ x + y ‖ ⩽ ‖ x ‖ + ‖ y ‖ {displaystyle |x+y|leqslant |x|+|y|}

Если вместо 3) выполняется более сильное условие:

3a) ‖ x + y ‖ ⩽ max ( ‖ x ‖ , ‖ y ‖ ) {displaystyle |x+y|leqslant max(|x|,|y|)} , то нормирование называется неархимедовым.

Значение ‖ x ‖ {displaystyle |x|} называется нормой элемента x {displaystyle x} . Если упорядоченное поле P {displaystyle P} является полем вещественных чисел R {displaystyle mathbb {R} } , то нормирование часто называют абсолютным значением.

Нормы ‖ ⋅ ‖ 1 {displaystyle |cdot |_{1}} и ‖ ⋅ ‖ 2 {displaystyle |cdot |_{2}} называются эквивалентными, если ‖ x ‖ 1 < 1 {displaystyle |x|_{1}<1} равносильно ‖ x ‖ 2 < 1 {displaystyle |x|_{2}<1} .

Примеры нормирований

  • Нормирование, при котором ‖ 0 ‖ = 0 {displaystyle |0|=0} , ‖ x ‖ = 1 {displaystyle |x|=1} для остальных x {displaystyle x} . Такое нормирование называется тривиальным.
  • Обычная абсолютная величина в поле вещественных чисел R {displaystyle mathbb {R} } и модуль в поле комплексных чисел C {displaystyle mathbb {C} } являются нормированием.
  • Пусть Q {displaystyle mathbb {Q} } — поле рациональных чисел, а p {displaystyle p} — некоторое простое число. Любое рациональное число можно представить в виде дроби x = p n a b {displaystyle x=p^{n}{frac {a}{b}}} , где a {displaystyle a} и b {displaystyle b} не кратны p {displaystyle p} . Можно определить следующее нормирование | x | p = p − n {displaystyle |x|_{p}=p^{-n}} . Это нормирование является неархимедовым и называется p-адическим нормированием.

Согласно теореме Островского, любая нетривиальная норма на Q {displaystyle mathbb {Q} } эквивалентна либо абсолютной величине | x | {displaystyle |x|} , либо р-адическому нормированию.

Свойства нормы

  • | 1 | = | − 1 | = 1 {displaystyle |1|=|-!1|=1}
  • Для вещественнозначного нормирования выполняется свойство | | x | − | y | | ⩽ | x − y | {displaystyle {Bigl |}|x|-|y|{Bigr |}leqslant |x-y|} (здесь предполагается, что на поле вещественных чисел задана обычная норма - модуль числа)
  • Вещественнозначное нормирование является неархимедовым тогда и только тогда, когда существует положительное число A {displaystyle A} , такое, что для любой суммы единичных элементов поля F {displaystyle F} :
3b) ‖ 1 + 1 + . . . + 1 ‖ ⩽ A {displaystyle |1+1+...+1|leqslant A}

Пусть данное условие выполнено. Тогда для любых элементов x {displaystyle x} и y {displaystyle y} из поля F {displaystyle F} имеем:

| ( x + y ) n | = | x n + … + C n i x n − i y i + … + y n | ⩽ ( n + 1 ) A [ max ( | x | , | y | ) ] n {displaystyle |(x+y)^{n}|=|x^{n}+ldots +C_{n}^{i},x^{n-i},y^{i}+ldots +y^{n}|leqslant (n+1)A[max(|x|,|y|)]^{n}}

Извлекая из обеих частей корень и переходя к пределу при n → ∞ {displaystyle n o infty } , получаем условие 3a). Обратное утверждение очевидно.

Нормированное поле как метрическое пространство

Из свойств 1-3 немедленно следует, что, определяя расстояние между двумя элементами вещественнозначного нормированного поля F {displaystyle F} как норму разности ‖ x − y ‖ {displaystyle |x-y|} , мы превращаем его в метрическое пространство, в случае неархимедовой нормы — в ультраметрическое пространство. Разные нормы определяют разные метрики. Эквивалентные нормы определяют одинаковую топологию в F {displaystyle F} .

Пополнение

Как и для любого метрического пространства, можно ввести понятие полноты и доказать, что любое нормированное поле F {displaystyle F} изоморфно вкладывается в полное нормированное поле F ∗ {displaystyle F^{*}} , то есть существует изоморфизм i : F → F ∗ {displaystyle i:F ightarrow F^{*}} . Норма в F ∗ {displaystyle F^{*}} продолжает норму в F {displaystyle F} , то есть для каждого x {displaystyle x} из F {displaystyle F} : ‖ i ( x ) ‖ F ∗ = ‖ x ‖ {displaystyle |i(x)|_{F^{*}}=|x|} , причём F {displaystyle F} плотно в F ∗ {displaystyle F^{*}} относительно этой нормы. Любое такое поле F ∗ {displaystyle F^{*}} определено однозначно с точностью до изоморфизма, сохраняющего нормы (изометрии) и тождественного на F {displaystyle F} ; оно называется пополнением поля F {displaystyle F} .

Пример. Пополнением поля рациональных чисел Q {displaystyle mathbb {Q} } с p-адической метрикой является поле p-адических чисел Q p {displaystyle mathbb {Q} _{p}} .

Экспоненциальное нормирование

Пусть v {displaystyle v} — отображение из мультипликативной группы поля K ∗ {displaystyle K^{*}} в некоторую вполне упорядоченную абелеву группу, такое, что

1) v ( x y ) = v ( x ) + v ( y ) {displaystyle v(xy)=v(x)+v(y)} 2) v ( x + y ) ⩾ min ( v ( x ) , v ( y ) ) {displaystyle v(x+y)geqslant min(v(x),v(y))}

Удобно также доопределить эту функцию в нуле: v ( 0 ) = ∞ {displaystyle v(0)=infty } . Групповая операция на ∞ {displaystyle infty } определена следующим образом: a + ∞ = ∞ + a = ∞ {displaystyle a+infty =infty +a=infty } для любого a {displaystyle a} , ∞ {displaystyle infty } упорядочена таким образом, чтобы быть больше всех элементов первоначальной группы. При этом свойства 1) и 2) остаются верными.

В терминологии Бурбаки функция с такими свойствами называется нормированием. Также термин «нормирование» для такой функции используют Атья и Макдональд и Ленг. Однако некоторые авторы оставляют термин «нормирование» для функции, обладающей свойствами, перечисленными в начале этой статьи, а нормирование в терминах Бурбаки называют экспоненциальным нормированием. Область значений отображения v {displaystyle v} называют группой нормирования, а множество тех элементов x {displaystyle x} поля K {displaystyle K} , для которых v ( x ) ⩾ 0 {displaystyle v(x)geqslant 0} — кольцом нормирования (обозначение — R v {displaystyle R_{v}} ), нетрудно проверить, что оно действительно является кольцом.

Дискретное нормирование — это экспоненциальное нормирование, являющееся отображением в аддитивную группу целых чисел. В этом случае кольцо нормирования называется кольцом дискретного нормирования.



Имя:*
E-Mail:
Комментарий: