Расстояние Минковского

09.02.2021

Расстояние Минковского (метрика Минковского) — параметрическая метрика на евклидовом пространстве, которую можно рассматривать как обобщение евклидова расстояния и расстояния городских кварталов. Названа в честь немецкого математика Германа Минковского, впервые систематически изучившего данное семейство функций расстояния.

Расстояние Минковского порядка p {displaystyle p} между двумя точками определяется как:

ρ ( x , y ) = ( ∑ i = 1 n | x i − y i | p ) 1 / p {displaystyle ho (x,y)=left(sum _{i=1}^{n}|x_{i}-y_{i}|^{p} ight)^{1/p}} .

Для p ⩾ 1 {displaystyle pgeqslant 1} расстояние Минковского является метрикой вследствие неравенства Минковского.

Для p < 1 {displaystyle p<1} расстояние не является метрикой, поскольку нарушается неравенство треугольника.

При p = ∞ {displaystyle p=infty } метрика обращается в расстояние Чебышёва.

В приложениях чаще всего используют функцию расстояния с параметром p {displaystyle p} , равным 1 (расстояние городских кварталов) или 2 (евклидова метрика).

Единичная окружность при различных значениях параметра p {displaystyle p} расстояния Минковского

Схожая параметрическая конструкция в функциональном анализе — пространства L p {displaystyle L^{p}} , где подобным образом вводится норма на функциональных пространствах.