Сбалансированное простое
Сбалансированное простое — это простое число, для которого интервалы между простыми числами слева и справа от числа равны, так что число равно среднему арифметическому ближайших простых. Алгебраически, если дано простое число p n {displaystyle p_{n}} , где n — индекс в упорядоченном множестве простых чисел,
p n = p n − 1 + p n + 1 2 . {displaystyle p_{n}={{p_{n-1}+p_{n+1}} over 2}.}Примеры
Первые сбалансированные простые числа
5, 53, 157, 173, 211, 257, 263, 373, 563, 593, 607, 653, 733, 947, 977, 1103 (последовательность A006562 в OEIS).
Например, 53 — шестнадцатое простое число. Пятнадцатое и семнадцатое числа —47 и 59, их сумма равна 106, а половина этой суммы равна 53, то есть 53 является сбалансированным простым.
Если 1 считать простым числом, 2 будет также сбалансированным простым числом
2 = 1 + 3 2 . {displaystyle 2={1+3 over 2}.}Бесконечность
Есть гипотеза, что существует бесконечно много сбалансированных простых чисел.
Три последовательных простых числа в арифметической прогрессии иногда называется CPAP-3 (consecutive primes in arithmetic progression = последовательные числа в арифметической прогрессии). Сбалансированное простое число, по определению, второе число в CPAP-3. На 2014 год наибольшее известное CPAP-3 имеет 10546 знаков и нашёл его Дэвид Бродхёрст. Это число равно
p n = 1213266377 × 2 35000 + 2429 , p n − 1 = p n − 2430 , p n + 1 = p n + 2430. {displaystyle p_{n}=1213266377 imes 2^{35000}+2429,quad p_{n-1}=p_{n}-2430,quad p_{n+1}=p_{n}+2430.}Значение n (индекс в последовательности простых чисел) не известно.
Обобщение
Сбалансированные простые можно обобщить до сбалансированных простых порядка n. Сбалансированное простое порядка n — это простое число, равное арифметическому среднему ближайших n чисел (слева и справа от числа). Алгебраически, если задано простое число p k {displaystyle p_{k}} , где k — это индекс в упорядоченной последовательности простых чисел,
p k = ∑ i = 1 n ( p k − i + p k + i ) 2 n . {displaystyle p_{k}={sum _{i=1}^{n}({p_{k-i}+p_{k+i})} over 2n}.}При этом определении обычное сбалансированное число — это сбалансированное число порядка 1. Последовательности сбалансированных чисел порядка 2, 3 и 4 задаются последовательностями A082077, A082078 и A082079 соответственно.