Арифметическая производная

07.02.2023

Арифметическая производная (производная Лагариаса, числовая производная) — функция, определённая для целых чисел, основанная на факторизации целых чисел, таким образом, что для неё действует аналог правила произведения для производных. Стандартным обозначением для натурального числа n {displaystyle n} является D ( n ) {displaystyle D(n)} ; оно определяется следующим образом:

• D ( 0 ) = D ( 1 ) = 0 {displaystyle D(0)=D(1)=0} ,
• D ( p ) = 1 {displaystyle D(p)=1} для любого простого числа p {displaystyle p} ,
• D ( a b ) = D ( a ) b + D ( b ) a {displaystyle D(ab)=D(a)b+D(b)a} для любых a , b ∈ N {displaystyle a,bin mathbb {N} } (правило произведения).

Область определения может быть расширена на целые числа: пользуясь тем фактом, что D ( 1 ) = 0 {displaystyle D(1)=0} , устанавливается, что D ( − 1 ) = 0 {displaystyle D(-1)=0} :

0 = D ( 1 ) = D ( ( − 1 ) ⋅ ( − 1 ) ) = − 2 ⋅ D ( − 1 ) ⟹ D ( − 1 ) = 0 {displaystyle 0=D(1)=D((-1)cdot (-1))=-2cdot D(-1)implies D(-1)=0} ,

таким образом, для любого целого n {displaystyle n} :

D ( − n ) = D ( ( − 1 ) ⋅ n ) = D ( − 1 ) n + − D ( n ) = − D ( n ) {displaystyle D(-n)=D((-1)cdot n)=D(-1)n+-D(n)=-D(n)} .

Для арифметической производной также применимо правило производной частного двух функций (что позволяет расширить область определения до рациональных чисел):

0 = D ( 1 ) = D ( a a ) = D ( a ) 1 a + D ( 1 a ) a ⟹ D ( 1 a ) = − D ( a ) a 2 {displaystyle 0=D(1)=D({frac {a}{a}})=D(a){frac {1}{a}}+D({frac {1}{a}})aimplies D({frac {1}{a}})=-{frac {D(a)}{a^{2}}}} ;

отсюда следует:

D ( a b ) = D ( a ) 1 b + D ( 1 b ) a = D ( b ) a b 2 − D ( a ) b = D ( b ) a − D ( a ) b b 2 {displaystyle D({frac {a}{b}})=D(a){frac {1}{b}}+D({frac {1}{b}})a={frac {D(b)a}{b^{2}}}-{frac {D(a)}{b}}={frac {D(b)a-D(a)b}{b^{2}}}}

Также применимо и правило производной степени функции:

D ( a n ) = n a n − 1 D ( a ) {displaystyle D(a^{n})=na^{n-1}D(a)} для любого целого числа a {displaystyle a} и n ⩾ 0 {displaystyle ngeqslant 0} , D ( p n ) = n p n − 1 {displaystyle D(p^{n})=np^{n-1}} для любого простого числа p {displaystyle p} и любого целого числа n ⩾ 0 {displaystyle ngeqslant 0} , D ( 1 p n ) = − n p n + 1 {displaystyle D({frac {1}{p^{n}}})=-{frac {n}{p^{n+1}}}} для любого простого числа p {displaystyle p} .