Волны Рэлея

Волны Рэлея — поверхностные акустические волны. Названы в честь Рэлея, теоретически предсказавшего их в 1885 году.

Описание

Волны Рэлея распространяются вблизи поверхности твердого тела. Фазовая скорость таких волн направлена параллельно поверхности. Частицы среды в такой волне совершают эллиптическое движение в сагиттальной плоскости (в которой лежат вектор скорости и нормали к поверхности). Амплитуды колебаний затухают при удалении от поверхности по экспоненциальным законам и энергия волны сосредоточена в области на расстоянии порядка длины волны от поверхности.

Волна Рэлея в изотропном теле

Уравнение движения бесконечно малого объёма однородной, изотропной и идеально упругой среды с плотностью ρ можно записать в виде:

где U — смещение бесконечного малого объёма относительно равновесного положения, λ и μ — упругие постоянные, Δ — оператор Лапласа. Для данного волнового уравнения решения ищутся в виде суперпозиции поперечных и продольных смещений U=Ut+Ul, где Ul=grad φ и Ut=rot ψ. φ и ψ — скалярный и векторный потенциалы. Уравнение (1) для новых неизвестных представляет собой волновые уравнения для независимых компонент смещений:

Если волна распространяется по оси x, то можно рассмотреть для изотропного случая только колебания в плоскости (x, z). Принимая во внимание независимость компонент от y для плоской гармонической волны, волновые уравнения для потенциалов примут вид:

где k l = ω ρ / ( λ + 2 μ ) , {displaystyle k_{l}=omega {sqrt { ho /(lambda +2mu )}},} k t = ω ρ / μ , {displaystyle k_{t}=omega {sqrt { ho /mu }},} — волновые числа для продольных и поперечных волн. Решения этих уравнений, если взять только затухающие решения представляются в виде плоских волн:

где q 2 = k 2 − k l 2 {displaystyle q^{2}=k^{2}-k_{l}^{2}} ; s 2 = k 2 − k t 2 {displaystyle s^{2}=k^{2}-k_{t}^{2}} ; k 2 > k t 2 > k l 2 {displaystyle k^{2}>k_{t}^{2}>k_{l}^{2}} ; A и B — произвольные постоянные. Эти решения представляют собой общее решение волнового уравнения для затухающей волны, а для нахождения частного решения нужно задать граничные условия на поверхности среды.

Компоненты смещения представляются в виде:

В случае свободной границы значение компонентов тензора напряжений принимают нулевые значение:

После подставления решений (4) получится однородная система линейных уравнений относительно амплитуд A и B, которая имеет нетривиальное решение только если детерминант системы равен нулю (уравнение Рэлея), а именно:

где η = k t / k {displaystyle eta =k_{t}/k} , ξ = k l / k t {displaystyle xi =k_{l}/k_{t}} . Это уравнение имеет единственный корень, относящийся к рэлеевской волне, который зависит только от коэффициента Пуассона ν:

Отсюда находятся компоненты смещений для рэлеевской волны:

Практическое применение волн рэлеевского типа

Волны рэлеевского типа (псевдорэлеевские волны) успешно применяются в инженерной сейсморазведке для изучения упругих параметров пород и грунтов находящихся за обделкой тоннелей, железобетонными, бетонными плитами, каменной кладкой или дорожной одеждой. В случае увеличения скоростей с глубиной (как правило, при исследованиях с дневной поверхности) скорости поперечных волн в нижнем слое определяются по дисперсионным кривым псевдорэлеевских волн (см. рисунок). Этот способ широко используется практически и обоснован с точки зрения теории упругости.